giúp tớ bài này nhaa tớ camon nhiều

Để tìm các giá trị của m làm cho hàm số liên tục tại các điểm cho trước, chúng ta sẽ kiểm tra điều kiện liên tục tại những điểm đó. Một hàm số f(x) là liên tục tại x=a nếu:

1. f(a) được xác định.
2. Giới hạn của f(x) khi x tiến đến a tồn tại.
3. Giới hạn của f(x) khi x tiến đến a bằng f(a).

a) Hàm số f(x) được định nghĩa như sau:

\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\
x + m & \text{khi } x = 1
\end{cases}
\]

Chúng ta cần kiểm tra tính liên tục tại x = 1.

1. Tính giá trị giới hạn của f(x) khi x tiến đến 1:

\[
\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2
\]

2. Hàm f(x) cũng phải có giá trị tại x = 1:

\[
f(1) = 1 + m
\]

3. Để hàm liên tục tại x = 1, chúng ta phải có:

\[
\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \implies 2 = 1 + m
\]

Giải phương trình trên:

\[
m = 1
\]

Vậy, giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 1 là m = 1.

b) Hàm số f(x) được định nghĩa như sau:

\[
f(x) =
\begin{cases}
mx - 2 & (x \leq 3) \\
\frac{2 - \sqrt{x + 1}}{x - 3} & (x > 3)
\end{cases}
\]

Chúng ta cần kiểm tra tính liên tục tại x = 3.

1. Tính giá trị giới hạn của f(x) khi x tiến đến 3:

\[
\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3} (mx - 2) = 3m - 2
\]

2. Tính giá trị giới hạn từ bên phải:

\[
\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{x - 3}
\]
Khi x tiến đến 3, chúng ta sẽ có dạng \(\frac{0}{0}\). Áp dụng quy tắc L'Hospital để tính giới hạn:

\[
\frac{d}{dx} (2 - \sqrt{x + 1}) = -\frac{1}{2\sqrt{x + 1}}, \quad \frac{d}{dx} (x - 3) = 1
\]

Do đó,

\[
\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x + 1}}}{1} = -\frac{1}{2\sqrt{4}} = -\frac{1}{4}
\]

3. Để hàm liên tục tại x = 3, chúng ta cần:

\[
3m - 2 = -\frac{1}{4}
\]

Giải phương trình trên:

\[
3m = -\frac{1}{4} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}
\]
\[
m = \frac{7}{12}
\]

Vậy, giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 3 là m = 7/12.

Kết luận:
- Giá trị của m tại x = 1 là 1.
- Giá trị của m tại x = 3 là 7/12.