bài 1. Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B thuộc (O). Qua A, B vẽ hai đường thẳng lần lượt vuông góc với OA, OB, hai đường thẳng này cắt nhau tại M. a) Chứng minh bốn điểm O, A, B, M cùng thuộc một đường tròn.

a) Để chứng minh bốn điểm O, A, B, M cùng thuộc một đường tròn, ta xét hai tam giác OAM và OBM. Với OA vuông góc với AM và OB vuông góc với BM, ta có:

- ∠OAM = 90° (do đường OA vuông góc với AM)
- ∠OBM = 90° (do đường OB vuông góc với BM)

Vì vậy, trong tam giác OAM và OBM, chúng ta có:

- OM là cạnh đối diện với góc 90° trong cả hai tam giác này.

Theo định lý Pythagoras, ta có:

OA^2 + AM^2 = OM^2 và OB^2 + BM^2 = OM^2.

Vì OA = OB (R là bán kính cùng bằng R) nên OA^2 = OB^2. Do đó, ta có OA^2 + AM^2 = OB^2 + BM^2, dẫn đến rằng |OM| là cùng một khoảng cách từ điểm O đến điểm M. Vậy bốn điểm O, A, B, M cùng thuộc một đường tròn có tâm O và bán kính OM.

b) Để chứng minh MA = MB, ta lại chú ý rằng:

- AM vuông góc với OA và BM vuông góc với OB.

Dựa trên tính chất của hình vuông, khi H nằm trên trung điểm AB, MA và MB kề nhau và bằng nhau vì cả hai đoạn thẳng đều được xác định từ cùng một điểm M và vuông góc với hai đoạn OH, OB tương ứng.

c) Để chứng minh MO là đường trung trực của AB, ta lưu ý rằng OM là khoảng cách từ O đến M, nếu OA = OB, thì OA và OB có cùng độ dài, và đặc biệt là OA vuông góc với AM và OB vuông góc với BM.

Do đó, M là điểm cách đều từ A và B, tức là MA = MB, và MO cắt AB tại H - trung điểm của đoạn thẳng AB. Vậy MO là đường trung trực của AB.

d) Khi A và B di chuyển trên đường tròn (O), thì H - trung điểm của AB cũng di chuyển và do đó OH và OM là các đoạn thẳng liên quan tới nhau, vấn đề cần chứng minh là OH · OM không đổi.

Ta xét OH và OM:

- CHÚ Ý: H là trung điểm của AB, vì vậy OH có thể được tính là (OA + OB)/2. Do A và B luôn nằm trên đường tròn với bán kính R, mọi thay đổi của A và B làm cho bán kính R không đổi.

- Như đã chứng minh, OH luôn đồng nhất với khoảng cách đến OM, tính chất này cho thấy OH · OM là một hằng số.

Từ đó, khi A, B di chuyển, tích OH · OM vẫn không thay đổi.