tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: G=$x^{2}$-x+ $2y^{2}$ -4y+3

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( G = x^2 - x + 2y^2 - 4y + 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Hoàn thành bình phương cho \( x \) và \( y \):

- Với \( x \):
\[
x^2 - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}
\]

- Với \( y \):
\[
2y^2 - 4y = 2\left(y^2 - 2y\right) = 2\left((y - 1)^2 - 1\right) = 2(y - 1)^2 - 2
\]

2. Thay thế vào biểu thức ban đầu:
\[
G = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 2(y - 1)^2 - 2 + 3
\]

3. Đơn giản hóa biểu thức:
\[
G = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2(y - 1)^2 - \frac{1}{4} - 2 + 3
\]
\[
G = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 2(y - 1)^2 + \frac{5}{4}
\]

4. Phân tích giá trị nhỏ nhất:

- Cả hai biểu thức \(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2\) và \(2(y - 1)^2\) đều là các bình phương, nên chúng luôn không âm (≥ 0).
- Để biểu thức \( G \) đạt giá trị nhỏ nhất, các bình phương phải bằng 0, tức là:
\[
x - \frac{1}{2} = 0 \quad \text{và} \quad y - 1 = 0
\]
\[
x = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad y = 1
\]

- Khi đó, biểu thức \( G \) sẽ là:
\[
G = 0 + 0 + \frac{5}{4} = \frac{5}{4}
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( G = x^2 - x + 2y^2 - 4y + 3 \) là \(\frac{5}{4}\).