cho ABCD là hình bình hành;E và F là trung điểm của AB và CD  a)AECF là hình bình hành b)DE=BF c)Gọi O là giao điểm của AC và BD.CM : E ; O ; F thẳng hàng d)AF cắt ED tại G;BF cắt EC tại H.CM : G ; O ; H thẳng

a) AECF là hình bình hành:

- Trong hình bình hành ABCD, ta có các đặc điểm sau:
- AB // CD
- AD // BC

- E và F là trung điểm của AB và CD tương ứng. Khi đó:
- AE = 1/2 AB và CF = 1/2 CD.
- Vì AB = CD (do ABCD là hình bình hành), nên AE = CF.

- Để chứng minh AECF là hình bình hành, ta cần chứng minh:
- AE // CF
- AC // EF

- AE // CF: Vì E và F là trung điểm của các cạnh đối diện của hình bình hành, đường nối E và F sẽ song song với cả hai cặp cạnh đối diện của hình bình hành ABCD. Do đó, EF // AB // CD và EF // AD // BC.

- AC // EF: Từ tính chất của hình bình hành, đường chéo AC chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau, và các đường trung bình của tam giác bằng nhau sẽ song song với cạnh đối diện. Do đó, EF // AC.

Vậy AECF là hình bình hành.

b) DE = BF:

- Vì E và F là trung điểm của AB và CD, ta có:
- AE = EB = 1/2 AB
- CF = FD = 1/2 CD

- Do AB = CD (hình bình hành), nên:
- AE = CF = 1/2 AB = 1/2 CD

- Trong tam giác ACD, đường trung bình EF chia đường chéo AC thành hai phần bằng nhau. Tương tự, trong tam giác BCD, đường trung bình EF chia đường chéo BD thành hai phần bằng nhau.

- Do đó, DE = BF = 1/2 AC (vì E và F là trung điểm của cạnh đối diện).

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. CM: E, O, F thẳng hàng:

- Trong hình bình hành, đường chéo chia nhau tại trung điểm của cả hai đường chéo.
- E và F là trung điểm của AB và CD, do đó EF cũng là trung bình của cả hai tam giác ACD và BCD.
- Đường trung bình của một tam giác đi qua trung điểm của đường chéo, nên E, O (giao điểm của AC và BD), và F thẳng hàng.

d) AF cắt ED tại G; BF cắt EC tại H. CM: G, O, H thẳng hàng:

- Ta đã biết E, O, F thẳng hàng từ điểm c).
- Hãy xét tam giác AEC và tam giác BDF:
- AF và ED là cặp đường thẳng cắt nhau tại G.
- BF và EC là cặp đường thẳng cắt nhau tại H.

- Theo định lý Ceva trong tam giác AEC và BDF:
- Các đường AF, ED, BF, EC tạo thành hệ thống đường thẳng đồng quy tại G và H, và các đường này đều cắt nhau tại O (giao điểm của đường chéo).
- Do đó, các điểm G, O, H phải thẳng hàng.

e) GH // CD:

- Vì G và H là các điểm cắt của các đường thẳng từ các đỉnh của hình bình hành với các đường trung bình, và chúng đều nằm trên đường thẳng qua O, ta có:
- GH là đường thẳng nối hai điểm trên các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành.

- Do đó, GH phải song song với đường thẳng cơ bản của hình bình hành, tức là CD.

Vậy GH // CD.