Câu 4: Cho tam giác ABC có góc A là góc tù và AB<AC. Kẻ AH vuông góc với BC(H thuộc BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HB.  a, CM:Tam giác ABH= tam giác ADH  b, Gọi E là tung điểm của AC. trên tia đối của tia ED

a. Để chứng minh tam giác ABH = tam giác ADH, trước tiên, chúng ta sẽ xem xét các yếu tố của hai tam giác này.

- Góc A là góc tù, điều đó có nghĩa là góc ABH và góc ADH đều cùng được tạo thành từ cạnh AH và cạnh AB, và đều đối diện với cạnh BH. Như vậy, góc ABH = góc ADH.

- Cạnh AB = cạnh AD (vì cả hai đều là cạnh của tam giác AC với AC cố định).

- Cạnh AH là cạnh chung của cả hai tam giác.

Vì vậy theo định lý đồng dạng của tam giác, chúng ta có:

Góc ABH = góc ADH, Cạnh AB = cạnh AD, Cạnh AH chung.

Do đó, tam giác ABH = tam giác ADH.

b. Để chứng minh AF // BC, ta sẽ xác định vị trí điểm E và điểm F.

- Điểm E là tung điểm của AC, có nghĩa là AE vuông góc với cạnh BC. Ta có một tam giác vuông AEC.

- Trên tia đối của ED, ta đặt điểm F sao cho EF = ED. Từ đây, ta sẽ chứng minh rằng AF // BC bằng cách xét góc giữa hai đường thẳng.

Vì EF // ED và AE vuông góc với BC, áp dụng định lý về góc đồng vị, ta có thể kết luận rằng AF // BC.

c. Gọi giao điểm của đường thẳng BA và CF là M. Kẻ tia MN vuông góc với AF, N thuộc AF.

- Bây giờ, ta sẽ chứng minh MN vuông góc với BC. Để chứng minh điều này, ta cần xem xét chuỗi các góc được tạo thành giữa các đường thẳng.

Từ AF || BC và MN vuông góc với AF, sẽ xuất hiện hai cặp góc đồng vị và góc so le trong, vì vậy góc ABC và góc MNB sẽ là những góc vuông.

d. Đối với điều kiện M, N, P thẳng hàng, ta biết P là trung điểm của BC. Để chứng minh M, N và P thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng độ dài đoạn MP và đoạn NP bằng nhau.

Với các điều kiện từ các phần trước như angles và các tính chất của tam giác, chúng ta có thể sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác để chứng minh rằng M nằm trên đường thẳng nối P và N, do đó M, N, P thẳng hàng.

Cuối cùng, mọi chứng minh chúng ta đã thực hiện đều dựa trên các mối quan hệ đồng dạng, thông qua xét các góc hoặc chiều dài cạnh, từ đó dẫn đến kết luận chính xác cho từng phần bài toán.