Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a√2. Gọi K là trung điểm của AD. Chứng minh: BK vuông AC.

Để chứng minh BK vuông góc với AC trong hình chữ nhật ABCD với AB = a và AD = a√2, ta sẽ sử dụng tọa độ.

Ta đặt các điểm như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a√2)
- D(0, a√2)

Trung điểm K của AD sẽ có tọa độ:
- K(0, a√2/2)

Tiếp theo, ta sẽ tìm vectơ BK và vectơ AC.

Vectơ BK có tọa độ:
BK = K - B = (0, a√2/2) - (a, 0) = (-a, a√2/2)

Vectơ AC có tọa độ:
AC = C - A = (a, a√2) - (0, 0) = (a, a√2)

Để kiểm tra BK vuông góc với AC, ta tính tích vô hướng của hai vectơ BK và AC:

BK · AC = (-a) a + (a√2/2) (a√2)

= -a^2 + a^2

= 0

Vì tích vô hướng bằng 0, điều này chứng tỏ rằng hai vectơ BK và AC vuông góc với nhau.

Vậy nên ta đã chứng minh được rằng BK vuông góc với AC.