Chứng minh A= 1=3+$3^{1}$ + $3^{2}$ + $3^{3}$ + $3^{4}$+...+ $3^{101}$ $vdots$ cho 4 và 13

Để chứng minh rằng A = 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^101 chia hết cho 4 và 13, chúng ta sẽ tính tổng A theo công thức của một cấp số mà hạng tử cuối cùng chính là 3^101.

Tổng A là một cấp số cộng hình học với b = 3, và số hạng đầu tiên a = 1 (hay là 3^0). Số hạng cuối cùng là 3^101.

Công thức tổng của cấp số cộng hình học là:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Trong đó:
- S_n là tổng của n hạng tử,
- a là hạng tử đầu tiên,
- r là tỷ số chung (ở đây r = 3),
- n là số hạng (ở đây n = 102, vì hạng tử đầu tiên là 3^0).

Áp dụng vào công thức, chúng ta có:

A = 1 * (1 - 3^102) / (1 - 3) = (1 - 3^102) / (-2) = (3^102 - 1) / 2.

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra tính chia hết của A cho 4 và 13.

1. Chia A cho 4:
Chúng ta cần xét (3^102 - 1) / 2 mod 4.

Trước hết, xem xét 3^n mod 4:
- 3^1 mod 4 = 3
- 3^2 mod 4 = 1
- 3^3 mod 4 = 3
- 3^4 mod 4 = 1

Từ đó ta thấy rằng 3^n mod 4 có chu kỳ là 2 (3, 1). Nghĩa là:
- Nếu n lẻ thì 3^n mod 4 = 3.
- Nếu n chẵn thì 3^n mod 4 = 1.

Với n = 102 là chẵn, ta có 3^102 mod 4 = 1.

Vậy:
3^102 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 4)

Do đó, (3^102 - 1) chia hết cho 4.

Tiếp theo, chia A cho 13:
Ta cần xét (3^102 - 1) mod 26 (vì A chia cho 2 trước).

Tính 3^n mod 13:
- 3^1 mod 13 = 3
- 3^2 mod 13 = 9
- 3^3 mod 13 = 27 ≡ 1 mod 13.

Ta thấy rằng 3^3 ≡ 1 mod 13. Vậy chu kỳ của 3 mod 13 là 3.

Áp dụng cho 102 mod 3:
102 mod 3 = 0, do đó:
3^102 mod 13 = (3^3)^(34) ≡ 1^34 ≡ 1 mod 13.

Vậy:
3^102 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 13).

Tóm lại, tổng A chia hết cho cả 4 và 13, nghĩa là A = 1 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^101 chia hết cho 52.