Giữa mình giải câu d vs

Giải câu d trong bài tập này:

Câu d: Có đúng một giá trị của m để phương trình (1) có đúng nghiệm thuộc khoảng \( \left( -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right) \).

Từ phương trình (1):

\[
2 \cos x - 1 = m \sin 2x
\]

Để giải điều này, ta cần phân tích hai bên của phương trình.

Bước 1: Tìm giá trị của \( m \) khi \( x \) nằm trong khoảng \( \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) \)

- Lưu ý rằng hàm \( \sin 2x \) có giá trị từ -1 đến 1. Điều này có nghĩa là \( m \sin 2x \) sẽ nằm trong khoảng \( -m \) đến \( m \).
- Hơn nữa, hàm \( 2 \cos x - 1 \) sẽ thay đổi giá trị theo \( x \) trong khoảng từ \( -1 \) đến \( 1 \). Ta cần xác định \( m \) để phương trình này có nghiệm duy nhất trong khoảng đó.

Bước 2: Tính giá trị cực trị của hàm \( 2 \cos x - 1 \)

- Hàm \( \cos x \) đạt giá trị cực đại là 1 khi \( x = 0 \) và cực tiểu là -1 khi \( x = \pi \). Do đó, \( 2 \cos x - 1 \) đạt cực đại là 1 (khi \( x = 0 \)) và cực tiểu là -3 (khi \( x = \pi \)).

Bước 3: Để có nghiệm duy nhất

Để phương trình có nghiệm duy nhất, \( m \sin 2x \) cần cắt \( 2 \cos x - 1 \) tại đúng một điểm. Điều này xảy ra khi:

1. \( m \) cần đủ nhỏ (để không vượt quá giá trị của \( 2 \cos x - 1 \)).
2. Xét giới hạn (biên) của khoảng \( \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) \):
- Tại \( x = -\frac{\pi}{4} \): \( 2 \cos(-\frac{\pi}{4}) - 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1 \).
- Tại \( x = \frac{3\pi}{4} \): \( 2 \cos(\frac{3\pi}{4}) - 1 = 2 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = -\sqrt{2} - 1 \).

Kết luận:

Từ phân tích trên, giá trị của \( m \) sẽ phải nằm giữa các giá trị tương ứng của hàm để có đúng một nghiệm. Do đó, có thể tìm ra giá trị \( m \) thỏa mãn điều kiện trên, và như vậy sẽ đúng rằng:

Đáp án là: Có một giá trị của \( m \) để phương trình (1) có đúng một nghiệm thuộc khoảng \( \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) \).

Vậy, câu d là ĐÚNG.