Chứng minh hàm số liên tục trên R $f(x) = left { {{dfrac{x^2-4x+3}{x-1}, x>1} atop {-sqrt{5-x}, (x≤1)}} ight.$

Để chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, chúng ta cần kiểm tra tính liên tục tại từng điểm của hàm, đặc biệt là tại điểm $x = 1$ nơi mà hàm có sự phân chia giữa hai biểu thức.

1. Tính liên tục tại $x > 1$:
Ở phía bên phải của $x = 1$, hàm $f(x)$ được định nghĩa bởi $\dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$. Đầu tiên, chúng ta cần kiểm tra hàm này.

Đưa biểu thức $x^2 - 4x + 3$ vào dạng nhân tử:
$$ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). $$
Do đó, ta có:
$$ f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 3)}{x - 1} \quad (x > 1). $$

Khi x khác 1, ta có:
$$ f(x) = x - 3 \quad (x > 1). $$

Hàm này là một hàm bậc nhất, nên tính liên tục cho mọi $x > 1$.

2. Tính liên tục tại $x < 1$:
Trong khoảng này, hàm được định nghĩa bởi $f(x) = -\sqrt{5 - x}$. Hàm này cũng là một hàm liên tục vì hàm căn bậc hai và phép toán với số thực (trong cỗng diện hàm số này) không gây ra vấn đề gì, nhất là khi luôn có $x \leq 5$.

3. Tính liên tục tại điểm $x = 1$:
Chúng ta cần kiểm tra:
- $f(1)$:
$$ f(1) = -\sqrt{5 - 1} = -\sqrt{4} = -2. $$

- Giới hạn bên trái $x \to 1^-$:
$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} -\sqrt{5 - x} = -\sqrt{5 - 1} = -\sqrt{4} = -2. $$

- Giới hạn bên phải $x \to 1^+$:
$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 3) = 1 - 3 = -2. $$

Tại đây, ta thấy rằng:
- $f(1) = -2$,
- $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -2$,
- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -2$.

Do đó:
$$ \lim_{x \to 1} f(x) = -2 = f(1). $$

Kết luận, hàm số $f(x)$ liên tục tại mọi điểm trên $\mathbb{R}$, ý nghĩa là hàm số này là liên tục trên toàn bộ miền $R$.