Giúp mik voi cần gấp

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ cần tính tổng S = 3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^95.

Bài toán này là một tổng của cấp số nhân. Tổng của một cấp số nhân có công bội r không bằng 1 được tính theo công thức:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r),

trong đó:
- a là số hạng đầu tiên,
- r là công bội,
- n là số hạng cuối cùng.

Ở đây:
- a = 3^0 = 1,
- r = 3,
- số hạng cuối cùng n = 95, tức là có tổng cộng 96 hạng từ 0 đến 95.

Áp dụng công thức trên, chúng ta có:

S = 1 * (1 - 3^96) / (1 - 3) = (1 - 3^96) / (-2) = (3^96 - 1) / 2.

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem S có chia hết cho 82 hay không.

82 có thể phân tích thành thừa số nguyên tố: 82 = 2 * 41. Thế nên, chúng ta sẽ kiểm tra xem S có chia hết cho 2 và 41 hay không.

- Chia hết cho 2: Công thức (3^96 - 1) / 2 rõ ràng là chia hết cho 2.

- Chia hết cho 41: Chúng ta cần xem 3^96 - 1 có chia hết cho 41 hay không. Theo định lý Fermat, vì 41 là số nguyên tố, nên 3^(40) ≡ 1 (mod 41). Do đó:

3^96 ≡ 3^(402 + 16) ≡ (3^40)^2 3^16 ≡ 1^2 * 3^16 ≡ 3^16 (mod 41).

Bây giờ chúng ta cần tính 3^16 mod 41.

Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa nhanh:

- 3^1 ≡ 3 (mod 41),
- 3^2 ≡ 9 (mod 41),
- 3^4 ≡ 81 ≡ 40 (mod 41),
- 3^8 ≡ 40^2 ≡ 1600 ≡ 39 (mod 41),
- 3^16 ≡ 39^2 = 1521 ≡ 4 (mod 41).

Vậy nên:

3^16 ≡ 4 (mod 41) ⇒ 3^96 ≡ 4 (mod 41).

Do đó:

3^96 - 1 ≡ 4 - 1 ≡ 3 (mod 41).

Vì 3 không chia hết cho 41, suy ra 3^96 - 1 cũng không chia hết cho 41.

Kết luận: Tổng S không chia hết cho 82.