Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đường tròn (AM < MB). Tía BM cất tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại C. Gọi N là trung điểm của AC. a) Chứng minh: OM // BC b) Chứng minhh: NM là tiếp tuyến của (O). c) Tia NM

a) Để chứng minh OM // BC, ta có thể xem xét tam giác OMB. Do B là điểm nằm trên đường tròn, nên OB là bán kính của đường tròn. Do đó, OM sẽ là bán kính từ O tới điểm M cũng nằm trên đường tròn.

Trong tam giác OMB, góc OMB sẽ là góc giữa bán kính OB và tiếp tuyến tại điểm B. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: góc OMB = góc giữa OM và BC. Do đó, OM // BC.

b) Để chứng minh NM là tiếp tuyến của (O), ta cần chỉ ra rằng góc NMA bằng 90 độ. Với N là trung điểm của AC, ta có AN = NC.

Từ tính chất của tiếp tuyến và bán kính, ta có OA vuông góc với Ax tại điểm C. Do M nằm trên đường tròn, ta có OM là bán kính tại M. Từ đó, chúng ta có góc NMA = góc OMA, với góc OMA = 90 độ (vì OA vuông góc với Ax). Như vậy, NM sẽ vuông góc với OA. Do đó, NM là tiếp tuyến của (O).

c) Để chứng minh OD vuông góc với MB, ta nhận thấy rằng tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn sẽ vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

Vì D nằm trên tiếp tuyến By tại điểm B, điều này đưa đến việc OD sẽ vuông góc với MB (vì BD là tiếp tuyến và OM là bán kính). Do đó, OD vuông góc với MB.

d) Để chứng minh AC.BD = 2R² và OC vuông góc với AD, trước tiên, ta cần nhớ rằng chiều dài của bán kính đường tròn là R. Khi đó, ta có AC = 2R (vì A và C trên đường tròn).

Vì D là điểm trên tiếp tuyến By, theo định lý tiếp tuyến và secant, chúng ta có:

AC.BD = R² + R² = 2R².

Cuối cùng, để chứng minh OC vuông góc với AD, vì N là trung điểm của AC, ta có:

Ở đây, DO vuông góc với MB và IN là đường nối giữa điểm O với N, từ đó ta có các tam giác vuông đồng dạng và suy ra OC vuông góc với AD.