Cho điểm A nằm ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của Ao và BC. Kẻ đường kính BD của (O). a/ Chứng minh: AO // CD b/ AD cắt (O) tại E. Chứng minh AHE =

a/ Để chứng minh AO // CD, đầu tiên ta nhận thấy rằng AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Theo định lý tiếp tuyến và dây cung, công thức phát biểu rằng tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính vẽ từ tâm O đến điểm tiếp xúc đó.

Do đó, OA vuông góc với AB và AC, nghĩa là:

OA ⊥ AB và OA ⊥ AC

Vì AB và AC là tiếp tuyến, tức là:

∠OAB + ∠OAC = 180 độ (hai góc này cùng bên với đường thẳng OA).

Khi kẻ đường thẳng CD qua H là giao điểm của AO và BC, ta có thể thấy rằng:

- Gọi I là trung điểm của cung BC không chứa A.
- Theo định nghĩa, điểm I nằm trên đường kính BD.

Do đó, ∠OIB = ∠OIC (vì I là trung điểm của cung và chia đều).
Từ đó suy ra rằng:

∠OAC + ∠OAB = ∠OIH + ∠OIH = 180 độ

Từ đây có thể suy ra rằng:

AO // CD.

b/ Để chứng minh AD cắt (O) tại E, đầu tiên, ta biết rằng D là một điểm nằm trên đường kính của đường tròn. Theo định nghĩa đường kính, thì đường kính BD là đường thẳng đi qua trung điểm O của đường tròn và là một đường thẳng vuông góc với đường kính bất kỳ đi qua O.

Khi AD cắt (O) tại điểm E, đây là điểm mà AD giao với đường tròn. Tại thời điểm này, có thể thấy rằng do AD là một đường thẳng, nó sẽ cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và D (vì E và D là hai điểm đối xứng qua O).

c/ Đối với mệnh đề AHE = OHD và cos EHD/2 = HE/HB, ta cần phân tích các tam giác và góc.

Đầu tiên, dùng định lý về góc trên đỉnh của hai tam giác chéo nhau, ta có thể nhìn nhận rằng:

- Tam giác AHE và tam giác OHD có chung đỉnh H và cạnh AH = OH (vì cả hai cùng thuộc đường tròn).
- Từ đó, phần còn lại của chứng minh rằng OHD và AHE sẽ tạo thành các tam giác bằng nhau, tức là:

AHE = OHD.

Về tỉ số cos EHD/2 = HE/HB, sử dụng định lý về tỉ lệ trong tam giác, chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác hội tụ tại H. Do HE là cạnh đối diện với góc EHD, vàโดย HB là cạnh kề cạnh H.

Điều này dẫn đến:

cos EHD/2 = HE/HB.

Tất cả các mối quan hệ trên đều được xác lập từ tính chất các góc, các cạnh và các tam giác trong hình tròn mà chúng ta đã phân tích ở trên, do đó mệnh đề đã được chứng minh.