Cho tam giác đều abc, có ab = 2 a) gọi m là trung điểm của đoạn thẳng bc. tỉnh ma.bc; ma.ac b) gọi m là điểm đối xứng của b qua c. Tính tích vô hưởng am.an c) lấy p thuộc đoan an sao cho ap = 3pn. Hãy biểu thị ap,

a) Đầu tiên, chúng ta có tam giác đều ABC với AB = AC = BC = 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Ta có thể tính MA theo định nghĩa của tọa độ.

Giả sử b và c có tọa độ lần lượt là B(0,0) và C(2,0) (vì AC = 2 và A nằm trên trục y). Do đó:

M có tọa độ là:
M = ((0 + 2)/2, (0 + 0)/2) = (1, 0).

Bây giờ, để tìm MA:

A có tọa độ:
A(1, √3) (vì độ cao của tam giác đều có cạnh 2 là √3).

Vì vậy:
MA = sqrt((1 - 1)² + (√3 - 0)²) = sqrt(0 + 3) = √3.

MA = √3, và BC = 2.

b) Gọi m là điểm đối xứng của b qua c. Tọa độ của B là (0,0) và tọa độ của C là (2,0).

Điểm đối xứng của B qua C là:
m = C + (C - B) = (2,0) + ((2,0) - (0,0)) = (2,0) + (2,0) = (4, 0).

Bây giờ, ta sẽ tính tích vô hướng AM * AN, với A có tọa độ (1, √3) và điểm N (phù hợp với điểm đối xứng m).

Để tính tích vô hướng AM * AN, trước tiên, ta cần tìm tọa độ N.

N = (1, √3) - (4 - 1, 0 - √3) = (1 - 3, √3) = (-2, √3).

AM = √3 (đã tính ở phần a), AN = sqrt((-2 - 1)² + (√3 - √3)²) = sqrt(9) = 3.

Tích vô hướng AM AN = MA AN = √3 * 3 = 3√3.

c) Bây giờ lấy P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3 PN.

Ta gọi AP = 3x và PN = x => AN = AP + PN => 4x = 3x + x = 3 + 1 = 4.

Vậy x = 1 đi từ A đến N là 4.

Để biểu diễn AP và MP theo hai vectơ AB và AC, ta cần viết tọa độ của các vectơ này:

Với B(0,0) và C(2,0), ta có:
AB = (1 - 0, √3 - 0) = (1, √3),
AC = (1 - 2, √3 - 0) = (-1, √3).

Bây giờ ta cần xác định MP. M có đoạn (1,0) và P trong đường thẳng AN sẽ có ánh xạ để xác định.

Ta sẽ tính độ dài MP:
MP = √[(x_M - x_P)² + (y_M - y_P)²].

Tọa độ P được tính như sau:
P có tọa độ = (1, √3) + (3/4)(N - A).

Lấy AN = 4 làm độ dài thì x_P sẽ tương đương với MP. Vậy tính trực tiếp độ dài MP thì:
MP = √{[(1 - x_P)² + (0 - y_P)²]} = 1 giữa vị trí lẫn y sẽ thoát ra.

Cuối cùng, cho trường hợp này nếu AP và mp dựa trên tỉ lệ của nhau thì chúng ta sẽ có:
AP = 3x, MP với x = một tỉ lệ theo như hai véctơ đã thiết lập ở trên.