CHO p là số nguyên tố lớn hơn `3` . Cm :`(p+23)(p+25)` chia hết` 24`

Để chứng minh (p + 23)(p + 25) chia hết cho 24 khi p là số nguyên tố lớn hơn 3, chúng ta cần kiểm tra hai điều kiện: chia hết cho 8 và chia hết cho 3 (vì 24 = 8 * 3).

1. Chứng minh chia hết cho 8:
Khi p là số nguyên tố lớn hơn 3, ta có thể kết luận rằng p không thể chia hết cho 2 hay 4, tức là p là số lẻ. Do đó, các số p + 23 và p + 25 đều là số lẻ.

- p + 23 và p + 25 sẽ khác nhau 2 đơn vị, vì vậy một trong hai số này sẽ chia hết cho 4, và cả hai sẽ chia hết cho 2.
- Nếu p chia cho 4 cho ra dư 1 (điều này tồn tại với p = 5, 13, 17, ...), thì:
* p + 23 ≡ 1 + 23 ≡ 0 (mod 4)
* p + 25 ≡ 1 + 25 ≡ 2 (mod 4)
* Như vậy, (p + 23)(p + 25) sẽ chia hết cho 4.
- Nếu p chia cho 4 cho ra dư 3:
* p + 23 ≡ 3 + 23 ≡ 2 (mod 4)
* p + 25 ≡ 3 + 25 ≡ 0 (mod 4)
* Như vậy, (p + 23)(p + 25) cũng chia hết cho 4.

Từ đó, ta có (p + 23)(p + 25) chắc chắn sẽ chia hết cho 4, và vì một trong hai số chia hết cho 2, nên sẽ chia hết cho 8.

2. Chứng minh chia hết cho 3:
Với bất kỳ số nguyên tố p nào lớn hơn 3, số đó sẽ có một trong các dạng sau:
- p ≡ 1 mod 3
- p ≡ 2 mod 3

- Nếu p ≡ 1 mod 3:
* p + 23 ≡ 1 + 2 ≡ 0 (mod 3) (vì 23 ≡ 2 mod 3)

- Nếu p ≡ 2 mod 3:
* p + 25 ≡ 2 + 1 ≡ 0 (mod 3) (vì 25 ≡ 1 mod 3)

Do đó, trong cả hai trường hợp, (p + 23)(p + 25) đều chia hết cho 3.

Cuối cùng, với kết luận rằng (p + 23)(p + 25) chia hết cho cả 8 và 3, ta có thể khẳng định rằng (p + 23)(p + 25) chia hết cho 24.