giúp vsssssssssssssssssssss

Để chứng minh rằng biểu thức \( n^3 + 3n^2 + 2n \) chia hết cho 6 với số nguyên \( n \), ta xem xét tính chia hết của biểu thức này đối với 2 và 3, vì 6 = 2 × 3.

Bước 1: Chứng minh chia hết cho 2

Biểu thức \( n^3 + 3n^2 + 2n \) có thể viết lại thành:

\[
n^3 + 3n^2 + 2n = n^3 + 2n + 3n^2.
\]

Ta xem xét \( n \) là số chẵn và lẻ:

- Nếu \( n \) chẵn, ta có \( n = 2k \) với \( k \) là số nguyên. Tính:

\[
n^3 = (2k)^3 = 8k^3 \quad (\text{chia hết cho } 2),
\]
\[
3n^2 = 3(2k)^2 = 12k^2 \quad (\text{chia hết cho } 2),
\]
\[
2n = 2(2k) = 4k \quad (\text{chia hết cho } 2).
\]

Vậy \( n^3 + 3n^2 + 2n \) chia hết cho 2.

- Nếu \( n \) lẻ, ta có \( n = 2k + 1 \). Tính:

\[
n^3 = (2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 \quad (\text{chia } 1 \text{ khi chia cho } 2),
\]
\[
3n^2 = 3(2k + 1)^2 = 12k^2 + 12k + 3 \quad (\text{chia } 1 \text{ khi chia cho } 2),
\]
\[
2n = 2(2k + 1) = 4k + 2 \quad (\text{chia } 0 \text{ khi chia cho } 2).
\]

Cộng lại thì phần lẻ sẽ ra tổng là chẵn, tức là cũng chia hết cho 2.

Bước 2: Chứng minh chia hết cho 3

Ta phân tích theo các trường hợp về \( n \):

- Nếu \( n \equiv 0 \mod 3 \), thì \( n^3 \equiv 0 \), \( 3n^2 \equiv 0 \), và \( 2n \equiv 0 \). Do đó, tổng cũng chia hết cho 3.

- Nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \), tính toán các phần:

\[
n^3 \equiv 1^3 \equiv 1,
\]
\[
3n^2 \equiv 3 \cdot 1^2 \equiv 3 \equiv 0,
\]
\[
2n \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2.
\]
Tổng lại \( 1 + 0 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \).

- Nếu \( n \equiv 2 \mod 3 \):

\[
n^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \equiv 2,
\]
\[
3n^2 \equiv 3 \cdot 2^2 \equiv 12 \equiv 0,
\]
\[
2n \equiv 2 \cdot 2 \equiv 4 \equiv 1.
\]
Tổng lại \( 2 + 0 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \).

Kết luận:

Vì \( n^3 + 3n^2 + 2n \) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6 với mọi số nguyên \( n \).