cuuws teooo ko bt lam=

a) Để chứng minh phương trình \(x^2 - mx - 4 = 0\) luôn có hai nghiệm phần biệt, ta cần xem xét điều kiện của nghiệm trong phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có hai nghiệm phần biệt nếu và chỉ nếu delta (\(D\)) lớn hơn 0.

Delta được tính như sau:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = -m\), và \(c = -4\). Vậy:

\[
D = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = m^2 + 16
\]

Vì \(m^2\) luôn không âm (mặc định khi \(m\) là số thực), và \(16\) là số dương, do đó:

\[
D = m^2 + 16 > 0
\]

Kết luận rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt cho mọi giá trị của \(m\).

b) Đặt \(x_1, x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(x^2 - mx - 4 = 0\). Theo Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = m
\]
\[
x_1 x_2 = -4
\]

Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là:

\[
A = \frac{2(x_1 + x_2) + 7}{x_1^2 + x_2^2}
\]

Đầu tiên, ta tính \(x_1^2 + x_2^2\):

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = m^2 - 2(-4) = m^2 + 8
\]

Thay vào biểu thức \(A\):

\[
A = \frac{2m + 7}{m^2 + 8}
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\), ta xét hàm số \(A(m)\) và tìm đạo hàm:

\[
A'(m) = \frac{(2)(m^2 + 8) - (2m + 7)(2m)}{(m^2 + 8)^2}
\]

Thiết lập \(A'(m) = 0\):

\[
2(m^2 + 8) - (2m + 7)(2m) = 0
\]
\[
2m^2 + 16 - (4m^2 + 14m) = 0
\]
\[
-2m^2 - 14m + 16 = 0
\]
\[
m^2 + 7m - 8 = 0
\]

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2}
\]

Có hai giá trị:

\[
m_1 = 1, \quad m_2 = -8
\]

Thay các giá trị này vào \(A\):

1. Nếu \(m = 1\):
\[
A = \frac{2(1) + 7}{1^2 + 8} = \frac{9}{9} = 1
\]
2. Nếu \(m = -8\):
\[
A = \frac{2(-8) + 7}{(-8)^2 + 8} = \frac{-16 + 7}{64 + 8} = \frac{-9}{72} = -\frac{1}{8}
\]

So sánh \(A(1) = 1\) và \(A(-8) = -\frac{1}{8}\). Kết luận, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(-\frac{1}{8}\) khi \(m = -8\).