Gxfhkkkfszcvcsa dgyuujikjbvvc hh u. Vo hc

1.2 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) Hàm số y = -1/3 x^3 - 2x^2 + 3x + 1

Để xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số, ta cần tính đạo hàm y'. Tính đạo hàm:

y' = d(y)/d(x) = -x^2 - 4x + 3.

Tiếp theo, ta giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm tới hạn (các giá trị x mà tại đó hàm số không đồng biến).

-x^2 - 4x + 3 = 0

Nhân với -1 để phương trình dễ giải hơn:

x^2 + 4x - 3 = 0.

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, ta có:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

với a = 1, b = 4, c = -3:

x = (-4 ± √(4^2 - 41(-3))) / (2*1) = (-4 ± √(16 + 12)) / 2 = (-4 ± √28) / 2 = (-4 ± 2√7) / 2 = -2 ± √7.

Ta có hai nghiệm:

x1 = -2 + √7
x2 = -2 - √7.

Để xét tính đơn điệu, ta cần kiểm tra dấu của y' trên các khoảng:

- x < -2 - √7
- -2 - √7 < x < -2 + √7
- x > -2 + √7

Chọn một giá trị trong mỗi khoảng và thay vào y' để xác định sự tăng giảm.

1) Chọn x = -5 (x < -2 - √7)
y'(-5) = -(-5)^2 - 4*(-5) + 3 = -25 + 20 + 3 = -2 < 0 (giảm)

2) Chọn x = -2 ( -2 - √7 < x < -2 + √7)
y'(-2) = -(-2)^2 - 4*(-2) + 3 = -4 + 8 + 3 = 7 > 0 (tăng)

3) Chọn x = 0 (x > -2 + √7)
y'(0) = -(0)^2 - 4*(0) + 3 = 3 > 0 (tăng)

Tóm lại:

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, -2 - √7).
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2 - √7, -2 + √7) và (-2 + √7, +∞).

b) Hàm số y = -x^3 + 2x^2 - 5x + 3

Tương tự, ta tính y':

y' = d(y)/d(x) = -3x^2 + 4x - 5.

Giải phương trình y' = 0:

-3x^2 + 4x - 5 = 0.

Nhân với -1:

3x^2 - 4x + 5 = 0.

Tính discriminant:

D = b² - 4ac = (-4)² - 435 = 16 - 60 = -44.

Vì D < 0, hàm số không có nghiệm, vì vậy y' luôn có dấu.

Kiểm tra dấu của y':

Chọn x = 0:

y'(0) = -3(0)^2 + 4(0) - 5 = -5 < 0.

Vậy y' < 0 với mọi x thuộc R.

Hàm số nhân định nghịch biến trên toàn bộ R.

1.3 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) Hàm số y = -1/3 x^3 - 2x^2 + 3x + 1 đã phân tích trong phần 1.2.

- Hàm số nghịch biến trên (-∞, -2 - √7).
- Hàm số đồng biến trên (-2 - √7, -2 + √7) và (-2 + √7, +∞).

b) Hàm số y = -x^3 + 2x^2 - 5x + 3 cũng đã nói ở trên: hàm số này là nghịch biến trên toàn bộ R.

Tóm tắt:

a)

- Nghịch biến: (-∞, -2 - √7).
- Đồng biến: (-2 - √7, -2 + √7) và (-2 + √7, +∞).

b) Nghịch biến: R.