Cho (O;R) đường kính AB. Lấy C ∈ (O;R) sao cho AC > BC, kẻ đường cao CH của Δ ABC ( H ∈ AB ) kéo dài CH cắt (O;R) tại D (D $ eq$ C). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại C của (O;R) cắt nhau tại

a) Để chứng minh DF là trung trực của (O;R), ta cần chỉ ra rằng DF vuông góc với AB và DF cắt AB tại trung điểm của đoạn AB.

1. Xét tam giác ABC có AB là đường kính. Theo định lý đường kính, góc ∠ACB = 90 độ.
2. Chúng ta có H là điểm hạ cao từ C và K là một điểm bất kỳ trên DF. Khi đó, do CF ⊥ AB và D ∈ (O;R), hiểu rằng DF vuông góc với AB.
3. Điểm F nằm trên đường thẳng AB, do đó ta hãy gọi M là điểm giao nhau của tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại C.
4. Vì M thuộc tiếp tuyến tại A, nên góc ∠MCA = ∠CAC (góc tiếp tuyến).
5. Từ đó, khi xét tam giác MCF, ta thấy rằng DF cắt AB tại điểm F, điểm này là trung điểm của AB (do AB là đường kính và DF là trung trực), do đó DF là trung trực của đoạn AB.

b) Để chứng minh BE = 2IO, ta sử dụng tính chất hình học của các điểm I, O, B, E.

1. Gọi E là hình chiếu của I trên AB.
2. Xét tam giác OMC, với O là tâm của đường tròn. Trong tam giác này, ta có OM = 2R và I là giao điểm của OM với AC.
3. Theo định lý Pythagore trong tam giác OIB, ta có BI = OB - IO.
4. Do đó, một phần các sai số trong tính toán từ điểm O đến điểm B tạo nên độ dài BE = 2IO, khi E là hình chiếu của I lên AB và B là điểm bất kỳ trên AB.

c) Để tính diện tích hình giới hạn bởi dây CD và cung CD lớn, ta sử dụng công thức tính diện tích hình quạt và diện tích tam giác.

1. Diện tích hình quạt tương ứng với cung CD lớn được tính bằng công thức: S_quat = (α/360) * πR^2, với α là số đo của góc tạo nên cung CD lớn.
2. Diện tích tam giác CCD được tính bằng công thức: S_tam_giac = 1/2 cạnh chiều cao.
3. Cuối cùng, ta lấy diện tích hình quạt trừ đi diện tích tam giác CCD để có diện tích của hình diện tích bị giới hạn giữa dây CD và cung CD lớn.

Vẽ hình giúp làm rõ các điểm số liệu trong câu hỏi thực tế. Theo yêu cầu và miêu tả, bạn có thể vẽ hình bày tỏ các điểm A, B, C, O, D, M, H, F và I, để từ đó dễ dàng hơn trong việc xác định các tương quan không gian giữa các điểm và các đoạn thẳng.