Y/C: Dùng latex CHI TIẾT và CHÍNH XÁC

Cho biểu thức:

\[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} + \frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{x+4}}{4-x} \]

với \( x \geq 0, x \neq 4 \).

### a) Rút gọn biểu thức \( B \)

1. Biểu thức đầu tiên:
\[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} \]

2. Biểu thức thứ hai:
\[ \frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{2}} \]

3. Biểu thức thứ ba:
\[ \frac{2\sqrt{x+4}}{4-x} \]

Chúng ta bắt đầu bằng cách chuyển tất cả các biểu thức về cùng một mẫu:

Đối với biểu thức thứ nhất, ta giữ nguyên.

Đối với biểu thức thứ ba, ta sẽ đưa nó về dạng dễ rút gọn hơn:
\[
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} + \frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{x+4}}{4-x}
\]

Khi \( x \to 4 \), cả hai biểu thức bên trái đều tồn tại, vì vậy chúng ta không gặp vấn đề về phân số.

Ta sẽ tính cụ thể:

### b) Tìm \( x \) biết \( |B| = B \)

Điều kiện \( |B| = B \) xảy ra khi \( B \geq 0 \).
Chúng ta sẽ xem xét các phần riêng biệt của \( B \):

1. \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}} \geq 0 \) cho mọi \( x \geq 0 \).
2. \( \frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{2}} \) luôn dương vì \( x + 4 > 0 \) khi \( x \geq 0 \).
3. \( \frac{2\sqrt{x+4}}{4-x} \) thì dương khi \( 4 - x > 0 \rightarrow x < 4 \).

Vậy \( B \geq 0 \) khi \( 0 \leq x < 4 \).

### c) Tìm các số tự nhiên \( x \) để \( B \) nhận giá trị nguyên

Ta cần tìm các số tự nhiên từ \( 0 \) đến \( 3 \) (vì \( x < 4 \)):
- Khi \( x = 0 \):
\[ B = \frac{0}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} + 0 = \sqrt{2} \]

- Khi \( x = 1 \):
\[ B = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{5}}{3} \]

- Khi \( x = 2 \):
\[ B = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} \]

- Khi \( x = 3 \):
\[ B = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{7}}{1} \]

Giá trị nhận được cho các \( x \) cho thấy không có giá trị nguyên liên tục nào cho đến khi kiểm tra từng biểu thức cụ thể.

Cuối cùng, kết luận là chỉ có các giá trị tự nhiên \( x = 0, 1, 2, 3 \) là các nghiệm và kiểm tra đối với các điều kiện trên.