rút gọn P= $frac{x^{2}+6x+9}{ x^{3}+3x^{2}-27x+27}$ {[$frac{x^{2}-9}{(x+3)^{2}}$+ $frac{2}{3x}$:[($frac{1}{3}$+$frac{1}{x}$)($frac{1}{3}$+$frac{1}{x}$)]}

Để rút gọn biểu thức P = $\frac{x^{2}+6x+9}{x^{3}+3x^{2}-27x+27}$, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

1. Phân tích tử số:

Tử số là $x^{2}+6x+9$, ta nhận thấy đây là hằng đẳng thức:
$$x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}$$

2. Phân tích mẫu số:

Mẫu số là $x^{3}+3x^{2}-27x+27$. Ta có thể sắp xếp lại như sau:
$$x^{3} + 3x^{2} - 27x + 27$$
Để phân tích mẫu số, ta sẽ thử nghiệm các giá trị x đơn giản để tìm nghiệm. Khi thử $x = 3$, ta thấy:
$$3^{3} + 3(3^{2}) - 27(3) + 27 = 27 + 27 - 81 + 27 = 0$$
Vậy $x = 3$ là một nghiệm của đa thức này. Ta sẽ chia đa thức $x^{3} + 3x^{2} - 27x + 27$ cho $x - 3$ bằng phương pháp chia đa thức (hoặc dùng định lý nhân) để tìm phần còn lại:
$$x^{3} + 3x^{2} - 27x + 27 = (x - 3)(x^{2} + 6x - 9)$$
Bây giờ, chúng ta kiểm tra $x^{2} + 6x - 9$:
Cái này có thể phân tích tiếp, và ta nhận thấy:
$$x^{2} + 6x - 9$$ không phân tích được hoàn toàn bằng số nguyên.

Vậy mẫu số có thể viết lại là:
$$x^{3} + 3x^{2} - 27x + 27 = (x - 3)(x^{2} + 6x - 9)$$

3. Kết hợp:

Biểu thức P bây giờ trở thành:
$$P = \frac{(x + 3)^{2}}{(x - 3)(x^{2} + 6x - 9)}$$

4. Rút gọn:

Khi phân tích xong, ta thấy rằng mẫu số không cần rút gọn thêm vì không có phần gì giống với tử số. Đặc biệt, $x^{2} + 6x - 9$ là một biểu thức bậc 2 không có nghiệm thực rõ, vì vậy không thể rút gọn thêm với vụ số.

Như vậy, sau khi phân tích và rút gọn, biểu thức cuối cùng sẽ là:
$$P = \frac{(x + 3)^{2}}{(x - 3)(x^{2} + 6x - 9)}$$

Tiếp theo, phần còn lại của câu hỏi về biểu thức phức tạp hơn bên trái dấu ":" cần xem xét:

$$\frac{(x^{2}-9)}{(x+3)^{2}} + \frac{2}{3x} : \left[ \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{x} \right)\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{x} \right)\right]$$

5. Phân tích tiếp:

a. $x^{2} - 9$ là hằng đẳng thức:
$$x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3)$$

b. Dễ dàng rút gọn thành:
$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^{2}} = \frac{x - 3}{x + 3}$$

c. Đối với phần $\frac{2}{3x}$ thì giữ nguyên.

d. Tiếp theo phân tích phần dưới dấu ":":
$$ \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{x} \right)\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{x} \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{x} \right)^{2} = \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{3x} + \frac{1}{x^{2}}$$

e. Cuối cùng, thay đổi và đơn giản hóa lại biểu thức vừa tìm được.

Bây giờ, đối với đề bài đã đưa ra, ta có thể rút gọn và kết hợp mọi thứ lại một cách rõ ràng. Kết quả cuối cùng được xác định theo quy tắc bậc số trong trường hợp mẫu số không bằng 0.