Cho A và B là hai điểm cố định trong góc nhọn xOy. Tìm C trên Ox, D trên Oy sao cho AC + CD + DB đạt giá trị nhỏ nhất

Để tìm điểm C trên trục Ox và điểm D trên trục Oy sao cho AC + CD + DB đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hình học.

1. Đặt A có tọa độ (x_A, y_A) và B có tọa độ (x_B, y_B), với A nằm ở phía trên điểm O (gốc tọa độ) và B nằm ở phía bên phải O trong hệ trục tọa độ xOy.

2. Gọi C có tọa độ (x_C, 0) (vì C nằm trên trục Ox) và D có tọa độ (0, y_D) (vì D nằm trên trục Oy).

3. Ta cần tính tổng quãng đường AC + CD + DB:
- Đoạn AC = sqrt((x_C - x_A)² + (0 - y_A)²)
- Đoạn CD = abs(x_C - 0) + abs(y_D - 0) = x_C + y_D
- Đoạn DB = sqrt((0 - x_B)² + (y_D - y_B)²)

Khi tìm cực tiểu cho tổng quãng đường này, chúng ta có thể sử dụng định lý phản xạ trong hình học. Theo định lý này, để tối thiểu hóa quãng đường nối ba điểm A, C, D, B, chúng ta có thể "phản xạ" điểm B qua trục Oy để tạo ra một điểm B' có tọa độ (x_B, -y_B).

4. Lúc này quãng đường AC + CD + DB sẽ trở thành đoạn đường từ A đến C và từ C đến B'. Bởi vì đoạn CD chỉ là đoạn thẳng từ C đến D, nên để tìm điểm C tối ưu, điểm C phải nằm trên đường thẳng nối A và B'.

5. C là giao điểm của đường thẳng AB' với trục Ox (y = 0), và D là giao điểm của đường thẳng AB' với trục Oy (x = 0).

6. Từ đó, ta có thể áp dụng các phương trình đường thẳng để tìm tọa độ của điểm C và D, từ đó xác định chính xác vị trí của chúng.

Kết luận: Điểm C nằm trên trục Ox và điểm D nằm trên trục Oy sao cho tổng quãng đường AC + CD + DB là nhỏ nhất sẽ được tìm ra thông qua việc xác định điểm giao giữa đường thẳng nối A và B’ với các trục coordinate tương ứng.