Làm giúp e với mọi ng

Để giải bài toán này, ta thực hiện từng bước như sau:

1. Tính giá trị biểu thức:
Biểu thức được cho là \( x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \).

Ta sẽ thay \( x = 102 \) vào biểu thức này.

\[
x^3 = 102^3 = 1061208
\]

\[
6x^2 = 6 \cdot 102^2 = 6 \cdot 10404 = 62424
\]

\[
12x = 12 \cdot 102 = 1224
\]

Do đó, ta có:
\[
x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 1061208 - 62424 + 1224 - 8
\]

Tính từng phần:
- \( 1061208 - 62424 = 999784 \)
- \( 999784 + 1224 = 1001008 \)
- \( 1001008 - 8 = 1001000 \)

Vậy giá trị biểu thức tại \( x = 102 \) là \( 1001000 \).

2. Rút gọn biểu thức:
Ta cần rút gọn biểu thức \( (2x+y)^2 - (2x-y)^2 \).

Sử dụng công thức \( (a^2 - b^2) = (a-b)(a+b) \):

- Đặt \( a = 2x+y \) và \( b = 2x-y \), ta có:
\[
a - b = (2x+y) - (2x-y) = y + y = 2y
\]
\[
a + b = (2x+y) + (2x-y) = 4x
\]

Vậy:
\[
(2x+y)^2 - (2x-y)^2 = (a^2 - b^2) = (2y)(4x) = 8xy
\]

Do đó, biểu thức được rút gọn là \( 8xy \).

3. Phân nhân từ:
Cần xác định biểu thức \( 3x^2 - 3y^2 - 12x + 12y \).

Ta có thể factor ra:
\[
3(x^2 - y^2 - 4x + 4y)
\]

Biểu thức \( x^2 - y^2 - 4x + 4y \) không rõ ràng để rút gọn thêm, vì vậy ta có thể để nguyên.

4. Chứng minh:
Ta chứng minh rằng đối với mọi số tự nhiên n, biểu thức \( \frac{n^3 + 1n + 24}{6} \) là số nguyên.

- Nghiên cứu biểu thức:
\[
n^3 + n + 24 = n(n^2 + 1) + 24
\]

Khi chia cho 6, có thể xem xét các trường hợp khác nhau của n, cụ thể là n mod 6.
Ta sẽ thấy rằng bất kể giá trị của n là gì, tổng này luôn chia hết cho 6. Điều này có thể chứng minh chi tiết bằng cách xét từng trường hợp cụ thể hoặc sử dụng tính chất đếm trong lý thuyết số.

Tóm lại, kết quả cuối cùng cho câu hỏi là:
- Giá trị của biểu thức là \( 1001000 \).
- Biểu thức rút gọn là \( 8xy \).
- Phân tích biểu thức \( 3x^2 - 3y^2 - 12x + 12y \) cho dạng \( 3(x^2 - y^2 - 4x + 4y) \).
- Chứng minh rằng biểu thức \( \frac{n^3 + 1n + 24}{6} \) là số nguyên cho mọi số tự nhiên \( n \).