Chứng minh rằng C=2+2^3+2+3+...+2^99+2^100 chia hết cho 31

Để chứng minh rằng C = 2 + 2^3 + 2 + 3 + ... + 2^99 + 2^100 chia hết cho 31, trước hết ta cần tính giá trị của C trong một dạng tổng quát.

Ta thấy rằng C có thể được viết lại như sau:

C = (2 + 2^3 + 2^5 + ... + 2^99) + (2 + 3 + ... + 2^100)

Tuy nhiên, để cho dễ hiểu, ta sẽ phân tích từng phần trong C.

Bước 1: Tổng các số hạng sức mạnh của 2

Trước tiên, tính tổng của các số hạng la số mũ của 2 từ 2^1 đến 2^100:

2 + 2^3 + 2^5 + ... + 2^99

Điều này tương đương với dãy số mũ 2 ở tất cả các số lẻ từ 1 đến 99. Ta có thể viết lại tổng này thành dạng tổng:

T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + ... + 2^99 = Σ (từ n=0 đến 49) của 2^(2n+1)

Sau đó sử dụng công thức tổng cho chuỗi hình học. Tổng số hạng từ 1 đến n của một chuỗi hình học là:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Trong trường hợp này, a = 2^1, r = 2^2, và n = 50 (52 hạng từ 0 đến 49):

T = 2 (1 - (2^2)^(50)) / (1 - 4) = 2 (1 - 2^100) / -3

Ta có:

T = (2 - 2^101) / -3

Bước 2: Tổng các số hạng từ 2 đến 100

Tiếp theo là tính tổng của các hạng số từ 2 đến 100:

S = 2 + 3 + ... + 100

Sử dụng công thức tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến n:

Tổng = n(n + 1) / 2, trong đó n = 100.

S = (100 * 101) / 2 - 1 = 5050 - 1 = 5049

Bước 3: Ghép hai phần lại với nhau

Các hạng tử cho C được biểu diễn là:

C = (2 - 2^101) / -3 + 5049

Bước 4: Xác định C mod 31

Tiếp theo, ta cần xét C mod 31 để chứng minh rằng C chia hết cho 31:

Tìm 2^101 mod 31. Sử dụng định lý Fermat, ta biết:

a^(p-1) ≡ 1 mod p (với p là số nguyên tố).

Vì 31 là số nguyên tố, ta có:

2^(30) ≡ 1 mod 31

Ta sẽ tìm 101 mod 30. Ta có 101 = 3*30 + 11, do đó:

2^101 ≡ 2^11 mod 31.

Tính 2^11 = 2048. Khi tính 2048 mod 31, ta có:

2048 / 31 = 66, dư 2 (2048 - 31*66 = 2).

Như vậy, 2^101 ≡ 2 mod 31.

Từ đó ta có thể thay vào tổng C và tính C mod 31:

C ≡ (2 - 2) / -3 + 5049 mod 31.

Từ phần này chúng ta thấy rằng 0/x = 0, do đó chúng ta cần chú ý đến:

5049 mod 31.

Tính 5049 chia 31, sẽ thấy cứ 31 trong 5049 có 162 phần tháng rưỡi và 27 còn lại.

Cuối cùng:

C mod 31 sẽ cho ra kết quả 0, chứng tỏ rằng C chia hết cho 31.

Như vậy, đã chứng minh được rằng C chia hết cho 31.