Bài 11. Cho tam giác ABC cân ở A có góc B = 70° Đường cao AH và BK cắt nhau ở I. a) Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI b) Tính góc KOI

a) Để chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI, ta có thể làm như sau:

- Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AI. Do AI là đường kính của đường tròn đường kính AI, nên theo định lý, đường tròn này sẽ đi qua điểm H, I và A.

- Đầu tiên, ta cần chứng minh rằng góc HAI bằng 90 độ. Bởi vì AH là đường cao của tam giác ABC, nó vuông góc với BC, nên góc HAI = 90°.

- Bây giờ, xem xét góc HIH. Ta có tam giác AHI vuông tại H, nên HI là cạnh huyền. Theo định nghĩa về tiếp tuyến, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn tại điểm tiếp xúc, thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. Trong trường hợp này, HK vuông góc với AI và đi qua I, từ đó dẫn tới HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

b) Để tính góc KOI, ta sẽ sử dụng tính chất của góc trong tam giác và các góc liên quan giữa các đường cao:

- Biết rằng A là đỉnh của tam giác cân, nên góc CAB = góc ABC = 70°. Do đó, góc A = 180° - (70° + 70°) = 40°.

- Khi đó, kéo dài BK và AH sẽ tạo thành các góc nhất định. Ta cần tìm góc KOI. Đầu tiên, hãy chỉ ra rằng I là hình chiếu của điểm A xuống đáy BC.

- Trong tam giác HIB, ta có góc HAI = 90° và góc AHI = góc CAB = 70°. Vậy góc HBI = 180° - (90° + 70°) = 20°.

- Vì I là điểm trên đường thẳng HK, góc KOI sẽ bằng góc HBI. Vậy góc KOI = 20°.

Do đó, kết luận của câu b) là KN là một góc 20°.