Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC .Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD , gọi HS là trung điểm của AD . Chứng minh:  a) tam giác BHA = tam giác BHD và BH là tia phân giác của góc ABC. b) gọi

Để giải bài toán này, ta tiến hành theo từng phần một.

a) Chứng minh rằng tam giác BHA = tam giác BHD và BH là tia phân giác của góc ABC.

Đầu tiên, ta có các thông tin sau:
- Tam giác ABC vuông tại A, tức là góc BAC = 90 độ.
- BA = BD (theo đề bài).
- H là trung điểm của AD.

Ta sẽ chứng minh hai tam giác BHA và BHD đồng dạng (hay bằng nhau) và BH là tia phân giác.

- Vì H là trung điểm của AD nên AH = HD.
- Ta đã biết BA = BD, do đó trong tam giác BHA và BHD, ta có:
- BA = BD (đề bài),
- AH = HD (H là trung điểm).

Từ đây, ta có cặp cạnh BA và BD bằng nhau, và cặp cạnh AH (cạnh của tam giác BHA) với HD (cạnh của tam giác BHD) cũng bằng nhau.

Xét góc AHB và góc DHB:
- Trong tam giác BHA, góc AHB và trong tam giác BHD, góc DHB có chung một cạnh BH.

Từ các điều này, ta áp dụng tiêu chuẩn về hai tam giác đồng dạng (SSS hoặc SAS), ta có:
- Tam giác BHA = tam giác BHD.

Do đó, BH là tia phân giác, vì BH chia góc ABC thành hai góc bằng nhau (theo định nghĩa của tia phân giác).

b) Gọi I là giao điểm của BH và AC. Chứng minh ID vuông góc với BC.

Từ phần a), ta đã thiết lập BH là tia phân giác của góc ABC. Bây giờ, ta sẽ xem xét các góc liên quan đến điểm I.

Vì BH là tia phân giác của góc ABC nên ta có:
- góc ABH = góc CBH.

Bây giờ chúng ta cần chứng minh rằng ID vuông góc với BC. Xét tam giác IBC:

Do BH là tia phân giác, khi I nằm trên AC, tức là đường thẳng AC được cắt bởi BH tại điểm I. Theo định nghĩa của tia phân giác và tính chất góc, ta có:

- góc ABI + góc IBC = 90 độ (vì góc ABC = 90 độ),
- Do đó, góc AIB + góc ABI = góc ABH.

Khi ID vuông góc với BC, ta có:
- ID vuông góc BC đồng nghĩa với việc góc IID = 90 độ.

Kết luận, do góc ABH = góc CBH, và với BH là tia phân giác như đã chứng minh ở phần a), ta có thể kết luận ID vuông góc với BC.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh thành công cả hai phần của bài toán.