ai nhanh nhất cho 5 sao + câu tl hay nhất nha

Cho M = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰ⁱ⁸.

a) Tính các tổng M:

Tổng M là tổng của dãy số hình thành từ số 2 lũy thừa. Dãy này có thể được biểu diễn thành công thức tổng:

M = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁸ = 2(1 + 2 + 2² + ... + 2¹⁸).

Dùng công thức tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội là 2:

1 + 2 + 2² + ... + 2ⁿ = (2^(n+1) - 1).

Áp dụng vào bài toán:

M = 2(2²⁰¹⁹ - 1) = 2²⁰²⁰ - 2.

b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3:

Ta cần chứng minh rằng M = 2²⁰²⁰ - 2 chia hết cho 3.

Xét 2^n theo modulo 3, ta có:

- Khi n chẵn (0, 2, 4, ...), 2^n ≡ 1 (mod 3).
- Khi n lẻ (1, 3, 5, ...), 2^n ≡ 2 (mod 3).

Vì 2020 là số chẵn, nên:

2²⁰²⁰ ≡ 1 (mod 3).

Vậy M = 2²⁰²⁰ - 2 ≡ 1 - 2 ≡ -1 ≡ 2 (mod 3).

Do đó, M không chia hết cho 3.

Tóm lại:

a) M = 2²⁰²⁰ - 2.
b) M không chia hết cho 3.