Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA  a, Chứng minh MNPQ là hình vuông

Để chứng minh MNPQ là hình vuông, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm:
Giả sử hình vuông ABCD nằm trong hệ tọa độ với các điểm như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)
với a là độ dài cạnh của hình vuông.

2. Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q:
- Điểm M là trung điểm của AB: M = ((0 + a)/2, (0 + 0)/2) = (a/2, 0)
- Điểm N là trung điểm của BC: N = ((a + a)/2, (0 + a)/2) = (a, a/2)
- Điểm P là trung điểm của CD: P = ((a + 0)/2, (a + a)/2) = (a/2, a)
- Điểm Q là trung điểm của DA: Q = ((0 + 0)/2, (a + 0)/2) = (0, a/2)

3. Tính độ dài các cạnh của hình MNPQ:
- Đoạn MN:
M = (a/2, 0), N = (a, a/2)
Độ dài MN = sqrt((a - a/2)² + (a/2 - 0)²)
= sqrt((a/2)² + (a/2)²)
= sqrt(a²/4 + a²/4)
= sqrt(a²/2)
= (a/√2).

- Đoạn NP:
N = (a, a/2), P = (a/2, a)
Độ dài NP = sqrt((a/2 - a)² + (a - a/2)²)
= sqrt((-a/2)² + (a/2)²)
= sqrt(a²/4 + a²/4)
= sqrt(a²/2)
= (a/√2).

- Đoạn PQ:
P = (a/2, a), Q = (0, a/2)
Độ dài PQ = sqrt((0 - a/2)² + (a/2 - a)²)
= sqrt((-a/2)² + (-a/2)²)
= sqrt(a²/4 + a²/4)
= sqrt(a²/2)
= (a/√2).

- Đoạn QM:
Q = (0, a/2), M = (a/2, 0)
Độ dài QM = sqrt((a/2 - 0)² + (0 - a/2)²)
= sqrt((a/2)² + (-a/2)²)
= sqrt(a²/4 + a²/4)
= sqrt(a²/2)
= (a/√2).

4. Kiểm tra tính vuông góc:
- Sử dụng hệ số góc:
- Hệ số góc của MN = (a/2 - 0) / (a - a/2) = 1.
- Hệ số góc của NP = (a - a/2) / (a/2 - a) = -1.
- Hệ số góc của PQ = (a/2 - a) / (0 - a/2) = 1.
- Hệ số góc của QM = (0 - a/2) / (a/2 - 0) = -1.
- Vì cho ra các hệ số góc 1 và -1 luân phiên, chúng ta có thể kết luận rằng các đoạn MN, NP, PQ, QM là vuông góc với nhau.

5. Kết luận:
MNPQ có bốn cạnh đều bằng nhau và bốn góc vuông (tức là đúng 90 độ). Do đó, MNPQ là hình vuông.