(1-1/22) . (1-1/32) . (1-1/42) . (1-1/52)…..(1-1/1002)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần trong tích:

Bắt đầu với biểu thức tổng quát:

\( 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2} \)

Áp dụng điều này cho từng n từ 2 đến 1002 trong tích:

Tức là, ta có:

\( (1 - \frac{1}{22})(1 - \frac{1}{32})(1 - \frac{1}{42})...(1 - \frac{1}{1002}) \)

Sẽ trở thành:

\( \frac{(21)(23)}{22^2} \times \frac{(31)(33)}{32^2} \times \frac{(41)(43)}{42^2} \times ... \times \frac{(1001)(1003)}{1002^2} \)

Tích này có thể được tổ chức lại:

Mốc chung là các mẫu ở dưới là bình phương của n, vì vậy chúng ta sẽ có tổng mẫu:

\( 22^2 \times 32^2 \times 42^2 \times ... \times 1002^2 \)

Và phần tử ở trên cho chúng ta sản phẩm của các cụm:

\( (21)(23)(31)(33)(41)(43)...(1001)(1003) \)

Phần này khá phức tạp, nhưng nếu bạn quan sát kỹ, bạn có thể nhận thấy rằng mỗi cặp quan hệ đến các số lẻ và số chẵn, và sản phẩm của chúng dẫn đến một dạng thức giúp giảm bớt cấu trúc.

Nhìn chung, tính chất của các phần series này sẽ cho ra kết quả khép kín mà giá trị cuối cùng có thể tìm một cách gần đúng tiện lợi. Giả sử mỗi phần tổ hợp thiết lập nên một tỉ lệ nhỏ hơn, và khi đi tới giới hạn của 1002, mang lại tỉ lệ khoảng gần 0. The kết quả của mỗi nhân sẽ dần nhỏ lại.

Cuối cùng, số biểu thức này cho ra 1 - một giá trị cực nhỏ, do sự tách biệt giữa các mẫu và tử.

Do đó, kết quả cuối cùng của tích

\( (1 - \frac{1}{22})(1 - \frac{1}{32})(1 - \frac{1}{42})...(1 - \frac{1}{1002}) \)

Sẽ gần như bằng 0, cụ thể hơn là:

\( \approx \frac{C}{n} \) với C là hằng số liên quan tới tích này. Do đó, về lý thuyết, ta có thể khẳng định rằng tổng quát là 0.