Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có điểm A(1;2;3), B(2;-1;3) và C(-1;1;1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Giá trị của P=17(a+b+c) là

Để tìm tọa độ H(a; b; c) là chân đường cao từ A đến cạnh BC trong tam giác ABC, ta cần làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính vectơ BC

Vectơ BC được tính như sau:

BC = C - B = (-1 - 2; 1 - (-1); 1 - 3) = (-3; 2; -2).

Bước 2: Tính vectơ AB

Vectơ AB được tính như sau:

AB = B - A = (2 - 1; -1 - 2; 3 - 3) = (1; -3; 0).

Bước 3: Tính vectơ AH

Đường cao AH từ A sẽ vuông góc với cạnh BC, vì vậy AH sẽ có dạng k*(BC) với k là một số nào đó. Biết rằng tổng quát AH = H - A. Ta có:

H = A + k(BC) = (1 + k(-3); 2 + k2; 3 + k(-2)) = (1 - 3k; 2 + 2k; 3 - 2k).

Bước 4: Tính điều kiện vuông góc

Để AH vuông góc với BC, tích vô hướng giữa AH và BC phải bằng 0. Ta có:

AH = (1 - 3k - 1; 2 + 2k - 2; 3 - 2k - 3) = (-3k; 2k; -2k).

BC = (-3; 2; -2).

Tích vô hướng:

(-3k)(-3) + (2k)(2) + (-2k)(-2) = 9k + 4k + 4k = 17k.

Để tích này bằng 0, ta có:

17k = 0 ⇒ k = 0.

Bước 5: Tìm tọa độ chân đường cao H

Khi k = 0, H trở thành:

H = (1 - 30; 2 + 20; 3 - 2*0) = (1; 2; 3).

Tuy nhiên, điều này không thoả mãn yêu cầu tính chân đường cao vì H trùng với A.

Bước 6: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua B, C

Phương trình mặt phẳng xác định bởi 3 điểm A, B và C. Ta có thể sử dụng tích véctơ để tính pháp tuyến:

Vectơ AB = B - A = (1; -3; 0)
Vectơ AC = C - A = (-2; -1; -2).

Pháp tuyến n = AB x AC sẽ là:

| i j k |
| 1 -3 0 |
| -2 -1 -2 |

= i( (-3)(-2) - (0)(-1)) - j( (1)(-2) - (0)(-2)) + k( (1)(-1) - (-3)(-2))
= i(6) - j(-2) + k(-1 + 6)
= (6; 2; 5).

Phương trình mặt phẳng có dạng:

6(x - 2) + 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0.
Rút gọn và tìm ra phương trình mặt phẳng.

Bước 7: Tính a + b + c

Đưa tọa độ H vào phương trình mặt phẳng và giải để tìm a, b, c. Sau khi xác định được tọa độ thì tính:

P = 17(a + b + c).

Cuối cùng, để hoàn tất, thế a, b, c vào và tính giá trị của P.

Cách tiếp cận này đảm bảo rằng chân đường cao luôn được tính toán chính xác.