tính giá trị của biểu thức M=x2-y2023 .Biết x và y là hai số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn x+y=x.y=x:y

Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ điều kiện cho trước: x + y = x.y = x:y.

1. Từ điều kiện x + y = x.y, ta có thể đọc được rằng tổng của hai số x và y bằng tích của chúng. Giả sử z = x + y = x * y, từ đây, ta sẽ có:
- Sử dụng một phương trình nổi tiếng trong đại số, ta có x và y là nghiệm của phương trình bậc hai:
t^2 - zt + z = 0.
- Theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
t = (z ± sqrt(z^2 - 4z)) / 2.

2. Để đảm bảo x và y là hai số hữu tỉ khác 0, điều kiện dưới dấu căn phải không âm, tức là:
z^2 - 4z ≥ 0 ⇔ z(z - 4) ≥ 0.
Hệ quả là z ≤ 0 hoặc z ≥ 4. Tuy nhiên, vì x và y đều là số hữu tỉ dương (bởi chúng phải khác 0), nên z ≥ 4 sẽ được áp dụng.

3. Hãy lấy giá trị z = 4 cho đơn giản, nghĩa là x + y = 4 và x * y = 4. Từ đó, chúng ta có thể giải được và tìm hai số x, y. Áp dụng công thức, ta sẽ có:
t^2 - 4t + 4 = 0,
Nghiệm của phương trình này là t = 2. Điều này có nghĩa là x = 2 và y = 2, tuy nhiên bởi vì x và y phải khác 0 và khác nhau, ta cần xem xét trường hợp khác.

4. Chúng ta có thể chọn z = 5 (hoặc 6, 7...) và kiểm tra điều kiện này qua phương trình bậc hai, tiếp tục với điều kiện x ≠ y.

5. Từ x + y = 5, x * y = 5, ta có:
t^2 - 5t + 5 = 0. Từ điều này, ta có:
t = (5 ± sqrt(5^2 - 4*5)) / 2 = (5 ± sqrt(25 - 20)) / 2 = (5 ± sqrt(5)) / 2, dẫn tới hai số x và y khác nhau.

6. Giờ đây, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức M = x^2 - y^2023. Theo định lý biểu thức bậc hai, từ x + y = s và x * y = p, ta thay giá trị tương ứng sẽ giúp chúng ta dễ dàng xử lý trong trường hợp này.

7. Cuối cùng, ta tính M khi đã xác định được x, y cụ thể, để tìm giá trị của M = x^2 - y^2.

Như vậy, tóm lại, với các điều kiện cho x và y đã được cân nhắc, biểu thức M sẽ có một giá trị cụ thể khi thay số này vào, ví dụ với hệ số cho trước.

Do đó, chúng ta kết luận M phụ thuộc vào giá trị cụ thể của x và y nào mà ta đã xác định, với các điều kiện lay lat cho phép.