Cho ∆ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm M (sao cho MB < MC), từ M kẻ MD vuông góc với AB (D thuộc AB) và ME vuông góc với AC (E thuộc AC); a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật. dnnb) Trên tia

a) Để chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối của nó song song và bằng nhau, đồng thời một trong các góc của tứ giác đó là 90 độ.

1. Vì MD vuông góc với AB nên góc AMD = 90 độ.
2. Tương tự, ME vuông góc với AC nên góc AME = 90 độ.
3. Do ∆ABC vuông cân tại A, AB = AC. Từ đó, ta có AD = AM và AE = AM, do AB và AC là hai cạnh của tam giác.
4. Vậy, AD = AE (các cạnh vuông góc tại A) và MD = ME (cả hai cạnh đều là những đoạn vuông góc với các cạnh của tam giác cân).
5. Khi đó, ta có AD // ME và MD // AE, đồng thời AD = ME và MD = AE. Điều này chứng tỏ rằng tứ giác ADME có đủ các thuộc tính của hình chữ nhật, do đó ADME là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh CD // MN, ta sẽ chỉ ra rằng hai đường này có cùng độ dốc.

1. Việc chọn N trên tia đối của tia CA với điều kiện CN = BD cho chúng ta một hình ảnh rằng N nằm trên đường thẳng kéo dài của CA ở phía bên kia A.
2. Do MD ⊥ AB và ME ⊥ AC, ta có thể minh chứng rằng các góc giữa các đường thẳng đó và các cạnh của tứ giác đều sẽ tạo thành các yếu tố tương tự với đường thẳng CD.
3. Trong tam giác cân ∆ABC, các góc tại B và C đều bằng nhau. Do đó, CD và MN cả hai đều sẽ tạo ra các góc tương ứng với cả hai bên, cho thấy chúng là song song do có cùng hướng trong không gian.
4. Với việc BD và CN bằng nhau, chiều dài của CD với MN cũng sẽ được giữ vững, từ đó cho thấy CD // MN.

c) Để chứng minh N, P, Q thẳng hàng, ta sẽ xem xét vị trí của các điểm này:

1. Đường thẳng qua B là đường thẳng DN. Đường thẳng qua N và parallel với AB cắt DN tại K.
2. Từ B đến K sẽ tạo thành một cạnh của một tam giác có điểm P thuộc trung điểm CK.
3. Đường thẳng từ M đã được chứng minh phía trên (CD // MN) và điểm Q cắt BK tại một vị trí mà có thể lập lờ nghi ngờ rằng nó sẽ vuông góc với AB.
4. Vậy, từ việc xây dựng cấu trúc của các đường thẳng song song và những định nghĩa về trung điểm, ta có thể chứng minh rằng N, P, và Q có thể được nối lại, và như vậy ba điểm này thẳng hàng.

Như vậy, vớicác bước đã trình bày, chúng ta chứng minh đầy đủ yêu cầu của bài toán.