C=5^1+5^2+5^3+5^4+...+5^2010 chia hết cho 6 và 31

Để giải bài toán này, trước hết ta cần tính giá trị của tổng C = 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2010. Đây là một chuỗi hình học.

Tổng của chuỗi hình học C có thể được tính bằng công thức:

C = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- a là số hạng đầu (5^1 = 5)
- r là tỷ lệ (r = 5)
- n là số hạng (n = 2010)

Như vậy:

C = 5 (5^2010 - 1) / (5 - 1) = 5 (5^2010 - 1) / 4

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra xem C có chia hết cho 6 và 31 hay không.

1. Kiểm tra chia hết cho 6:
C sẽ chia hết cho 6 nếu nó chia hết cho cả 2 và 3.

- Chia hết cho 2:
C = 5 * (5^2010 - 1) / 4.
Trong đó, 5^2010 là số lẻ, do đó (5^2010 - 1) là số chẵn. Ta có thể viết lại:
5^2010 - 1 = 2k (k là một số nguyên).
Vậy C = (5 * 2k) / 4 = (5k) / 2. Như vậy, C chia hết cho 2.

- Chia hết cho 3:
Ta kiểm tra xem 5^n chia cho 3 sẽ cho kết quả gì. Ta sẽ tính 5 modulo 3:
5 mod 3 = 2.
Do đó, 5^1 mod 3 = 2, 5^2 mod 3 = 1, 5^3 mod 3 = 2, 5^4 mod 3 = 1, và cứ lặp lại theo chu kỳ 2, 1.

Vì số hạng lẻ (1 đến 2010) sẽ có 1005 số hạng cho ra kết quả 2 và 1005 số hạng cho 1. Như vậy, tổng sẽ bằng:
Tổng mod 3 = 10052 + 10051 mod 3 = (2010 mod 3) = 0 (chia hết cho 3).

Kết luận: C chia hết cho 6.

2. Kiểm tra chia hết cho 31:
Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra C mod 31. Lưu ý rằng 5^30 ≡ 1 (mod 31) theo định lý Fermat.

Ta chia số 2010 cho 30 để tìm số dư:
2010 mod 30 = 0.

Vậy cho 5^2010 mod 31 ≡ 1, và:
C = 5 * (1 - 1) / 4 mod 31.
Ở đây, ta gặp vấn đề vì 0/4 không xác định được trong tính toán modulo, nhưng ta có thể kết luận là với chuỗi này, C = 0 mod 31.

Kết luận: 5^1 + 5^2 + ... + 5^2010 chia hết cho 31.

Từ 2 phần kiểm tra trên, ta kết luận rằng C chia hết cho cả 6 và 31.

Vì vậy, tổng kết lại, kết quả là C chia hết cho 6 và 31.