Cho `a,b,c in N**` sao cho `a+b+c=A` Chứng minh `A/a+A/b+A/c>=(9A)/(a+b+c)`

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau cho các số tự nhiên \(a, b, c\) sao cho \(a + b + c = A\):

\[
\frac{A}{a} + \frac{A}{b} + \frac{A}{c} \geq \frac{9A}{a+b+c}.
\]

Từ điều kiện \(a + b + c = A\), ta có thể thay thế \(A\) trong vế phải:

\[
\frac{A}{a} + \frac{A}{b} + \frac{A}{c} \geq \frac{9A}{A} = 9.
\]

Như vậy, ta cần chứng minh:

\[
\frac{A}{a} + \frac{A}{b} + \frac{A}{c} \geq 9.
\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số dương \(x_1 = \frac{A}{a}\), \(x_2 = \frac{A}{b}\), \(x_3 = \frac{A}{c}\):

\[
\left( \frac{A}{a} + \frac{A}{b} + \frac{A}{c} \right) \left(a + b + c\right) \geq (A + A + A)^2.
\]

Thay \(A = a + b + c\) vào bất đẳng thức trên:

\[
\left( \frac{A}{a} + \frac{A}{b} + \frac{A}{c} \right) A \geq (3A)^2.
\]

Từ đó ta có:

\[
\frac{A}{a} + \frac{A}{b} + \frac{A}{c} \geq \frac{9A}{A} = 9.
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{A}{a} + \frac{A}{b} + \frac{A}{c} \geq 9.
\]

Do đó, bất đẳng thức ban đầu:

\[
\frac{A}{a} + \frac{A}{b} + \frac{A}{c} \geq \frac{9A}{a+b+c}
\]

được chứng minh là đúng.