Bài 4. (2,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) và đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nữa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cất các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng

a) Để chứng minh rằng COD = 90° và AC . BD = $\frac{AB²}{4}$, ta có thể sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc.

Xét tam giác OAC và OBD:
- Ta có OA là bán kính, AC là tiếp tuyến tại A. Vì vậy, góc OAC = 90°.
- Tương tự, góc OBD = 90°.

Do đó, các tam giác OAC và OBD đều có góc vuông tại A và B. Ta xét tứ giác CODA.

Khi đó, vì OAC và OBD đều có các góc vuông, nên tứ giác CODA sẽ là tứ giác nội tiếp, và theo định lý Pythagore:
COD + OAC + OBD = 360°
Vì OAC và OBD là 90°, nên COD = 360° - 180° = 90°.

Tiếp theo, để chứng minh AC . BD = $\frac{AB²}{4}$, ta áp dụng định lý tiếp tuyến:
AC là tiếp tuyến tại A vuông góc với OA, tương tự BD vuông góc với OB.
Căn cứ vào định lý Pythagore trong tam giác OAC và OBD:
AC = OA . có thể ký hiệu là r, và BD = OB . cũng bằng r
Vậy:
AC.BD = OA.OB = r^2 = (OA + OB)^2/4 = AB^2/4.

b) Để chứng minh rằng MN ⊥ AB, chúng ta xem xét góc giữa các đường thẳng AD và BC.

Từ điểm M trên bán kính OM, kẻ tiếp tuyến tại M sẽ vuông góc với OM. Tiếp tuyến này, cùng với AB sẽ tạo thành một tam giác có tính chất vuông góc. Cho nên, từ M đến N, đường nối MN sẽ vuông góc với AB, dẫn đến MN ⊥ AB.

c) Theo giả thiết OD = 2OM, ta có O là trung điểm của đoạn OD, khi đó, ta có nửa đường kính OM và OA cắt nhau tại A, và cung MA là một phần của vòng tròn lớn với bán kính là OA.

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính OM, OA và cung nhỏ MA có thể được tính như sau:

- Diện tích hình quạt = (1/2) OA^2 góc MAO (đơn vị radian).

Vì OD = 2OM, nên OA = OM. Đặt góc MAO = θ. Diện tích sẽ được tính bằng:

S = (1/2) OM^2 θ.

Với θ phụ thuộc vào kích thước của hình quạt được xác định bởi các các góc mà MN tạo ra với AB.

Khi tính diện tích theo phương pháp này, ta chú ý đơn vị của góc. Nếu θ được tính bằng độ, thì diện tích sẽ cần phải chuyển đổi để tính đúng bằng radian (1 độ = π/180 rad).

Cuối cùng, cụ thể bạn cần một con số về kích thước các bán kính thì mới tính được chính xác diện tích. Tuy nhiên, phương pháp tính vẫn như trên.