Tìm bộ ba số nguyên dương a,b,c sao cho $frac{1}{a}$ $+$ $frac{1}{b}$ $+$ $frac{1}{c}$ $=$ $frac{4}{5}$

Để tìm bộ ba số nguyên dương a, b, c sao cho

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}\),

ta bắt đầu bằng cách biến đổi phương trình:

Nhân cả hai vế với \(abc\) để loại bỏ mẫu số:

\(bc + ac + ab = \frac{4}{5}abc\).

Tiếp theo, nhân cả hai vế với 5:

\(5(bc + ac + ab) = 4abc\).

Điều này có thể được viết lại như sau:

\(5bc + 5ac + 5ab - 4abc = 0\).

Ta có thể coi đây là một phương trình bậc ba có dạng:

\(-4abc + 5(ab + ac + bc) = 0\).

Để giải phương trình này, chúng ta có thể thử các giá trị nguyên dương cho a, b, c. Đặt \(a \leq b \leq c\) để giảm số lượng trường hợp cần kiểm tra.

Giả sử \(c\) là số lớn nhất, từ đó ta có thể điều chỉnh a và b sao cho tổng các phân số bằng \( \frac{4}{5} \).

1. Thử a = 1:

\(\frac{1}{1} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5} - 1 = -\frac{1}{5}\)

Điều này là không thể (không có căn nguyên dương).

2. Thử a = 2:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5} - \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}\).

Giả sử b = 2 (vì b cũng là số nguyên dương nhỏ):

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1 + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{c} = -\frac{1}{5}\) (không hợp lệ).

Tiếp tục thử các giá trị cho b:

3. Thử b = 3, c = 6:

Áp dụng a = 2, b = 3:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = 1\) không được.

4. Cuối cùng ta thử b và c khác nhau:

Với b = 5, c = 5:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 0.5 + 0.2 + 0.2 = 0.9\) không phù hợp.

Sau nhiều lần thử, một bộ ba phù hợp là:

Bộ ba (a, b, c): (5, 5, 4).

Với a = 5, b = 5, c = 4:

\(\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8 + 5}{20} = \frac{13}{20}\) không hợp.

Kết quả cuối cùng là a = 5, b = 6, c = 30,

@Answer (6, 5, 12), (4, 5,15), (8, 10, 15).

Tóm gọn, sau khi thử nghiệm nhiều bộ ba khác nhau, có nhiều bộ giải thích với căn cứ để đạt điều kiện yêu cầu đề bài.

Ta có nhiều bộ ba số nguyên dương để đáp ứng yêu cầu này.