Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường trung tuyến AM . Kẻ đường cao AI , từ I vẽ IH AB tại H , IK AC tại K . Chứng minh:  a) IA HK .  b) HK AM . vẽ hình

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài toán đã cho, ta sẽ lần lượt phân tích các trường hợp.

a) Để chứng minh IA // HK, ta có thể áp dụng tính chất của tam giác vuông và đường trung tuyến. Trong tam giác vuông ABC tại A, AM là đường trung tuyến. Theo định nghĩa, đường trung tuyến nối điểm A với trung điểm của cạnh BC.

Vì H là giao điểm của AI và AB, và K là giao điểm của AI và AC, ta thấy rằng AI là đường cao của tam giác ABC tại A. Do đó, các góc ∠IAH và ∠KAI là góc vuông.

Chúng ta cần chỉ ra rằng hai đoạn thẳng IA và HK song song. Ta có góc ∠IAH = ∠KAI = 90 độ. Do đó, theo định lý về hai góc đồng vị, khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, góc đồng vị sẽ bằng nhau.

Ta cũng có thể chứng minh rằng nếu IA cắt HK tại một điểm nào đó thì tam giác IAH giống hệt như tam giác IAK, từ đó cho thấy IA // HK.

b) Để chứng minh HK // AM, ta có thể sử dụng tính chất của các hình chữ nhật hoặc áp dụng định lý đường trung tuyến. Từ kết quả ở phần (a), chúng ta đã xác định rằng AI vuông góc với cả HK và AM.

Bởi vì AM là đường trung tuyến tại điểm A trong tam giác vuông ABC, nó cũng sẽ song song với HK. Điều này bởi vì các góc giữa IA và AM cũng sẽ là góc vuông (∠IAM = 90 độ).

Như vậy, chúng ta đã có được AI vuông góc với cả HK và AM, từ đó cho thấy HK // AM.

Kết luận, theo các chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh được IA // HK và HK // AM.