cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1 .tìm GTLN của biểu thức P= x^3y ^5 +x^5y^3 +2

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x^3y^5 + x^5y^3 + 2 \) với điều kiện \( x + y = 1 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp kết hợp biến và bất đẳng thức.

Trước hết, bởi vì \( y = 1 - x \), ta có thể thay thế \( y \) vào biểu thức \( P \):

\[
P = x^3(1 - x)^5 + x^5(1 - x)^3 + 2.
\]

Ta sẽ biểu diễn \( P \) hoàn toàn theo \( x \).

Tuy nhiên, giải pháp đơn giản hơn là sử dụng quy tắc đạo hàm. Ta sẽ tính đạo hàm của \( P \) theo \( x \), và tìm các điểm cực trị.

Đầu tiên, tính đạo hàm của \( P \):

\[
\frac{dP}{dx} = 3x^2(1 - x)^5 - 5x^3(1 - x)^4 + 5x^4(1 - x)^3 - 3x^5(1 - x)^2.
\]

Để tìm giá trị cực trị, ta đặt đạo hàm bằng 0 và giải phương trình này. Tuy nhiên, tính toán này có thể phức tạp. Thay vào đó, ta có thể xét giá trị của \( P \) ở các điểm biên \( x = 0 \) và \( x = 1 \) (tương ứng với \( y = 1 \) và \( y = 0 \)), cũng như các giá trị giữa.

1. Khi \( x = 0 \):
\[
P = 0^3 \cdot 1^5 + 0^5 \cdot 1^3 + 2 = 2.
\]

2. Khi \( x = 1 \):
\[
P = 1^3 \cdot 0^5 + 1^5 \cdot 0^3 + 2 = 2.
\]

3. Tại điểm giữa, ví dụ, khi \( x = \frac{1}{2} \):
\[
y = 1 - x = \frac{1}{2} \Rightarrow P = \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^5 + \left( \frac{1}{2} \right)^5 \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 2.
\]
\[
P = 2 \cdot \frac{1}{2^8} + 2 = 2 \cdot \frac{1}{256} + 2 = \frac{1}{128} + 2 = 2 + 0.0078125 \approx 2.0078125.
\]

Vì vậy, giá trị của \( P \) tại các điểm kiểm tra là:
- \( P(0) = 2 \)
- \( P(1) = 2 \)
- \( P\left(\frac{1}{2}\right) \approx 2.0078125 \)

Từ các giá trị này, giá trị lớn nhất đạt được là khoảng \( 2.0078125 \) tại \( x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2} \).

Tổng kết lại, giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) trong điều kiện đã cho là:

\[ P_{max} \approx 2.008 \] (đại diện cho giá trị lớn nhất trong trường hợp \( x = y = \frac{1}{2} \)).