Cho tam giác ABC, trong đó BC= 16CM, góc ABC =45 , góc ACB= 30. Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. a) Hãy tính đoạn thẳng AN  b) Hãy tính cạnh AC Giúp mình với!!! Cảm ơn nhiều ạ.

Để giải bài toán, trước tiên ta cần sử dụng định lý sin và các hệ thức lượng trong tam giác.

a) Tính đoạn thẳng AN

1. Ta có tam giác ABC với các thông số đã cho: BC = 16 cm, góc ABC = 45° và góc ACB = 30°.

2. Ta cần tìm độ dài của AN, đoạn vuông góc từ A xuống BC. Đầu tiên, ta tính góc BAC:
Góc BAC = 180° - góc ABC - góc ACB = 180° - 45° - 30° = 105°.

3. Theo định lý sine, ta có:
AC / sin(ABC) = BC / sin(BAC)
=> AC / sin(45°) = 16 cm / sin(105°)

Tính giá trị sin(45°) và sin(105°):
sin(45°) = √2 / 2,
sin(105°) = sin(180° - 75°) = sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2) / 4.

4. Thay vào phương trình trên:
AC / (√2 / 2) = 16 / ((√6 + √2) / 4)
=> AC = 16 (√2 / 2) (4 / (√6 + √2))
=> AC = 32√2 / (√6 + √2).

5. Tính độ dài AN. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ANB (góc A = 90°):
AN = AC sin(ACB) = AC sin(30°) = AC * (1/2).

6. Thay AC vào phương trình trên:
AN = (32√2 / (√6 + √2)) * (1/2) = 16√2 / (√6 + √2).

b) Tính cạnh AC

1. Trở lại tính AC đã được thực hiện ở bước 4, mình có:

AC = 32√2 / (√6 + √2).

2. Để tính giá trị này cụ thể hơn, ta nhân và chia với (√6 - √2) để đơn giản hóa mẫu số:
AC = 32√2(√6 - √2) / ((√6 + √2)(√6 - √2))
= 32√2(√6 - √2) / (6 - 2) = 8√2(√6 - √2).

3. Kết quả cuối cùng sẽ là:
Cạnh AC = 8√2(√6 - √2) cm.

Tóm lại:
- AN = 16√2 / (√6 + √2) cm,
- AC = 8√2(√6 - √2) cm.