Cho điểm M nằm ngoài đường trong O

a. Để chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp trong đường tròn O, ta cần chứng minh rằng góc ở các đỉnh A và B cùng nhìn thấy cạnh MB. Cụ thể, góc MOA và góc MOB phải cùng nằm trên một cung của đường tròn.

Vì M nằm ngoài đường tròn O, MA là tiếp tuyến tại điểm A, MB là tiếp tuyến tại điểm B. Theo tính chất của tiếp tuyến, góc giữa tiếp tuyến và bán kính là 90 độ. Do đó:

- Góc OMA = 90 độ (MA là tiếp tuyến tại A)
- Góc OMB = 90 độ (MB là tiếp tuyến tại B)

Ta có hai góc này đều bằng 90 độ và được tạo bởi các đường thẳng nối M với O và các tiếp tuyến. Điều này cho thấy tứ giác MAOB có hai góc đối là góc MOA và góc MOB, mỗi góc đều bằng 90 độ. Theo định lý về tứ giác nội tiếp, tứ giác có các góc đối bằng 180 độ thì là tứ giác nội tiếp trong đường tròn, do đó tứ giác MAOB thực sự nội tiếp trong đường tròn O.

b. Để chứng minh MC·MD = MA², ta sẽ làm như sau:

- Cũng bởi M nằm ngoài đường tròn O, từ M vẽ đường tròn nhỏ với bán kính bằng MA. Khi đó, điểm A sẽ là điểm tiếp xúc của đường tròn này với đường tròn O.

Theo định lý tiếp tuyến và dây cung, ta có:

MC^2 = MA·MB (vì MC và MA là các đoạn trực tiếp từ điểm M đến mặt phẳng của đường tròn O)

Và tương tự cho MD:

MD^2 = MA·MB

Từ đây suy ra MC·MD = MA·MA = MA².

Kết luận, ta xác nhận rằng MC·MD = MA².

Như vậy, cả hai phần a và b của bài toán đều đã được chứng minh.