(lim _{x ightarrow -infty }left(sqrt{4x^{2}-mx+2}+2x-1 ight)=frac{3}{4})

Để tính giới hạn

\[
\lim _{x\rightarrow -\infty }\left(\sqrt{4x^{2}-mx+2}+2x-1\right),
\]

trước hết, ta phân tích biểu thức bên trong dấu giới hạn.

Khi \( x \) tiến đến \( -\infty \), phần chính yếu ảnh hưởng đến giới hạn là \(\sqrt{4x^2 - mx + 2}\).

Ta có thể viết lại:

\[
\sqrt{4x^2 - mx + 2} = \sqrt{4x^2\left(1 - \frac{m}{4x} + \frac{2}{4x^2}\right)}.
\]

Vì \( x \) tiến đến \( -\infty \), ta biết rằng \( \frac{m}{4x} \) tồi tệ hơn khi \( x \) lớn hơn, và \( \frac{2}{4x^2} \) cũng sẽ rất nhỏ. Do đó, ta có thể dùng phương pháp lấy phần chính:

\[
\sqrt{4x^2\left(1 - \frac{m}{4x} + \frac{2}{4x^2}\right)} = 2|x|\sqrt{1 - \frac{m}{4x} + \frac{2}{4x^2}}.
\]

Vì \( x \) âm, ta có \( |x| = -x \). Vậy:

\[
\sqrt{4x^2 - mx + 2} = -2x\sqrt{1 - \frac{m}{4x} + \frac{2}{4x^2}}.
\]

Khi \( x \to -\infty \), \( \frac{m}{4x} \to 0 \) và \( \frac{2}{4x^2} \to 0 \). Do đó, \( \sqrt{1 - \frac{m}{4x} + \frac{2}{4x^2}} \) tiến đến \( \sqrt{1} = 1 \).

Kết quả là:

\[
\sqrt{4x^2 - mx + 2} \approx -2x.
\]

Bây giờ, ta điền lại vào giới hạn:

\[
\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(\sqrt{4x^2 - mx + 2} + 2x - 1\right) = \lim_{x \to -\infty} \left(-2x + 2x - 1\right) = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1.
\]

Chúng ta đã đi đến kết luận rằng giới hạn bằng \(-1\).

Tuy nhiên, theo đề bài, giới hạn này lại phải bằng \(\frac{3}{4}\). Để có thể đạt được điều này, chúng ta cần điều chỉnh tham số \(m\) trong biểu thức ban đầu:

\(-2x\) sẽ biến đổi vì \(m\) cũng ảnh hưởng đến giới hạn tổng quát. Để thỏa mãn điều kiện yêu cầu:

\[
\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(-2x + \frac{mx}{4x} - 1\right) = \frac{3}{4},
\]

ta sẽ cần tìm giá trị \(m\) sao cho

\(\frac{-1 + \frac{m}{4}}{-2} = \frac{3}{4}\).

Giải phương trình

\(-1 + \frac{m}{4} = -\frac{3}{2}\) đến

\(\frac{m}{4} = -\frac{1}{2} \Rightarrow m = -2\).

Do đó, giá trị đúng của \(m\) là \(-2\).