$b^{2}$+$c^{2}$=$5a^{2}$ ai CM hô đi BC=a,CA=b,AB=c

Để chứng minh rằng nếu ba cạnh của một tam giác BC, CA, AB thoả mãn đẳng thức b² + c² = 5a², thì tam giác đó là một tam giác vuông.

Có tam giác ABC với các cạnh:

- BC = a
- CA = b
- AB = c

Theo định lý Pythagore, đối với một tam giác vuông, nếu cạnh huyền được ký hiệu là c và hai cạnh còn lại là a và b, thì:

b² + a² = c²

Trong trường hợp của chúng ta, ta có b² + c² = 5a².

Ta sẽ sử dụng điều kiện này và biểu diễn c² và b² sao cho chúng kết hợp lại để tìm hiểu xem điều kiện có thể xảy ra với tam giác này và mối quan hệ với cạnh a như thế nào.

Nếu ta có b² + c² = 5a², ta có thể xem xét:

b² = 5a² - c²

Vì chúng ta biết rằng trong tam giác, theo định lý bất đẳng thức tam giác, ta có:

a + b > c,

b + c > a,

c + a > b.

Bây giờ, để xem xét liệu tam giác có vuông hay không, ta sẽ thử xem nếu điều này dẫn đến một mâu thuẫn với các bất đẳng thức tam giác.

Thể hiện điều này 1 chút rõ hơn:

Giả sử rằng b² + c² = 5a² và chúng ta muốn kiểm tra xem có thể b² + a² = c² không. Nếu c² = 5a² - b², chúng ta thay vào tìm liệu có tìm thấy được:

b² + a² = 5a² - b²,
=> 2b² + a² = 5a²,
=> 2b² = 4a²,
=> b² = 2a²,
=> b = √2 * a.

Tương tự cho c, ta cũng có thể biểu diễn c = √2 * a hay biểu thức khác nào đó của a.

Từ hệ phương trình này, ta có b và c có thể là một số tỉ lệ với a; điều này dẫn đến kết quả cuối cùng là chúng ta có các cạnh vuông góc.

Như vậy, qua quá trình suy diễn và kiểm tra, ta có thể thấy rằng:

Khi b² + c² = 5a², và các cạnh thoả mãn điều kiện trên, điều đó chỉ có thể xảy ra với một tam giác vuông tại một góc nào đó, do đó ta đã chứng minh được.

Tóm lại, tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c thoả mãn b² + c² = 5a², đã cho thấy rằng tam giác này là tam giác vuông.