Giúp mình bài này với: Tìm tất cả các số nguyên n thỏa mãn $frac{n^6-1}{n-1}$ là số chính phương

Để giải bài toán, trước hết ta sẽ đơn giản hóa biểu thức \(\frac{n^6-1}{n-1}\).

Biểu thức này có thể được viết dưới dạng đa thức bằng cách sử dụng định lý phân tích:

\[
n^6 - 1 = (n^3 - 1)(n^3 + 1)
\]

Trong đó, \(n^3 - 1\) có thể được phân tích thêm như sau:

\[
n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)
\]

Và \(n^3 + 1\) cũng có thể được phân tích:

\[
n^3 + 1 = (n + 1)(n^2 - n + 1)
\]

Khi đó, ta có:

\[
n^6 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)(n + 1)(n^2 - n + 1)
\]

Do đó,

\[
\frac{n^6 - 1}{n - 1} = (n^2 + n + 1)(n^3 + 1)
\]

Ta sẽ xét trường hợp \(n = 1\):

Nếu \(n = 1\):

\[
\frac{1^6 - 1}{1 - 1}\text{ undefined}
\]

Với \(n = 1\) thì biểu thức này không xác định.

Bây giờ ta xét các giá trị khác của \(n\):

Ta sẽ xét các giá trị nguyên liên tiếp để tìm ra những giá trị của \(n\) khiến cho biểu thức chính phương.

Điều kiện là:

\((n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)\) là một số chính phương.

1. Với n = 0:

\[
\frac{0^6 - 1}{0 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1 \text{ (chính phương)}
\]

2. Với n = 2:

\[
\frac{2^6 - 1}{2 - 1} = \frac{63}{1} = 63 \text{ (không phải chính phương)}
\]

3. Với n = 3:

\[
\frac{3^6 - 1}{3 - 1} = \frac{728}{2} = 364 \text{ (không phải chính phương)}
\]

4. Với n = -1:

\[
\frac{(-1)^6 - 1}{-1 - 1} = \frac{1 - 1}{-2} = 0 \text{ (chính phương)}
\]

5. Với n = -2:

\[
\frac{(-2)^6 - 1}{-2 - 1} = \frac{64 - 1}{-3} = \frac{63}{-3} = -21 \text{ (không phải chính phương)}
\]

6. Với n = -3:

\[
\frac{(-3)^6 - 1}{-3 - 1} = \frac{729 - 1}{-4} = \frac{728}{-4} = -182 \text{ (không phải chính phương)}
\]

Tiếp tục như vậy với các số nguyên âm:

Rõ ràng từ thử nghiệm, không tìm thấy \(n\) nào cho đến thời điểm này mà làm \((n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)\) trở thành một số chính phương, ngoại trừ trường hợp \(n = 0\) và \(n = -1\) mà ta đã tìm thấy.

Sau một số khám phá cho đến giá trị tính toán nhất định, sintetico tìm được:

Tóm lại, chúng ta có các giá trị \(n\) mà \(\frac{n^6 - 1}{n - 1}\) là số chính phương có thể thu được là:

n = 0 và n = -1.