Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H vẽ HE vuông góc với AB tại E, về HF vuông góc với AC tại F. a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Gọi M là trung điểm đoạn BH, K là điểm đỗi xứng

a) Để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này đều song song và bằng nhau.

- Đầu tiên, ta có H là điểm trên đường cao AH từ A xuống BC. HE vuông góc với AB tại E có nghĩa là góc AHE = 90 độ. Tương tự, HF vuông góc với AC tại F cũng có nghĩa là góc AHF = 90 độ. Điều này cho thấy hai đoạn HE và HF đều vuông góc với đoạn AH.

- Tiếp theo, từ tính chất của tam giác vuông, ta biết rằng độ dài đoạn HE برابر với độ dài đoạn AH vì E nằm trên AB còn H nằm trên AH. Tương tự, độ dài đoạn HF cũng bằng độ dài AH vì F nằm trên AC còn H nằm trên AH.

- Như vậy, chúng ta có thể xác định rằng AE là một cạnh, và đoạn HF cũng là một cạnh. Do HE = HF và AHE = AHF = 90 độ, nên tứ giác AEHF có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc với nhau. Vì vậy, tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh tam giác BCK là tam giác vuông, ta lưu ý rằng M là trung điểm của đoạn BH. Khi đó, điểm K là điểm đối xứng của A qua M, nên AM = MK.

- Xét đường chéo BM trong tam giác BAH. Vì H nằm trên AH, BK sẽ là đường nối từ B đến K. Do K là điểm đối xứng của A qua M, chúng ta có: BM = BH - AM = AH - AM.

- Trong tam giác ABC, chúng ta có độ dài đoạn CK được biểu diễn bằng độ dài cạnh AC và chiều cao AH. Suy ra CK bình = AB bình + AH bình + AC bình theo định lý Pythagore. Bây giờ, ta có thể viết lại CK bình như sau: CK bình = (AC bình + AH bình) + AB bình.

Vậy chúng ta đã chứng minh rằng tam giác BCK là tam giác vuông và CK bình = AB bình + AH bình + AC bình.