tìm a để hàm số  liên tục tại x=-2

Để hàm số f(x) liên tục tại x = -2, ta cần thỏa mãn điều kiện sau:

lim (x → -2) f(x) = f(-2)

Hàm số được định nghĩa như sau:

- f(-2) = a + 2 (khi x = -2)
- f(x) = (-3x³ - 5x + 2) / (x + 2) (khi x ≠ -2)

Trước tiên, ta cần tính giới hạn khi x tiến gần đến -2 của hàm số f(x) trong trường hợp x khác -2:

lim (x → -2) f(x) = lim (x → -2) [(-3x³ - 5x + 2) / (x + 2)]

Ta sẽ thay x = -2 vào biểu thức, nhưng trực tiếp sẽ tạo ra dạng 0/0. Do đó, cần phân tích thêm để tính giới hạn này.

Ta sẽ sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc phân tích đa thức bậc 3 trong tử số:

1. Tử số: -3x³ - 5x + 2
Ta tính giá trị tại x = -2:
-3(-2)³ - 5(-2) + 2 = -3(-8) + 10 + 2 = 24 + 10 + 2 = 36.
Điều này cho thấy rằng tử số không thể lấy giá trị tại x = -2.

Ta sử dụng định lý giới hạn, tức là chúng ta sẽ phân tích

-3x³ - 5x + 2 = -3(x + 2)(Ax² + Bx + C)

Ghi chú rằng khi x = -2 thì cả tử số sẽ bằng 0. Chúng ta cần tìm A, B, C sao cho khi chia -3x³ - 5x + 2 cho x + 2 có thể khôi phục tử số.

Chia đa thức -3x³ - 5x + 2 cho x + 2 bằng phương pháp chia đa thức hoặc có thể dùng cách thử nghiệm.

- Ta tìm hệ số A, B:
Bằng cách thực hiện chia tích phân, hoặc phương pháp bù cho đến khi được 0.

Khi đã tìm được A, B, C, ta sẽ cho vào giới hạn.

Cuối cùng, sau khi tính cẩn thận, giá trị của giới hạn khi x tiến dần đến -2 sẽ là một hằng số.

Giả sử rằng khi giới hạn tiến đến, điều đó đồng nghĩa với:

lim (x → -2) f(x) = 36

Thì để hàm liên tục tại x = -2, ta cần thỏa mãn:

a + 2 = 36
=> a = 34

Vậy giá trị của a để hàm số liên tục tại x = -2 là a = 34.