Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 4x^16 + 81

Đây là một tổng của hai bình phương. Ta có thể viết lại như sau:
4x^16 + 81 = (2x^8)^2 + 9^2.

Áp dụng công thức tổng của hai bình phương:
a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi), với a = 2x^8 và b = 9, ta có:
4x^16 + 81 = (2x^8 + 9i)(2x^8 - 9i).

b) 625t^9 + 75t^3 + 9

Để phân tích đa thức này, ta có thể nhận thấy rằng nó có thể được viết thành một tổng. Chúng ta có thể đặt y = t^3. Khi đó, biểu thức trở thành:
625y^3 + 75y + 9.

Tạo lập một đa thức bậc ba, ta có thể tìm nghiệm bằng cách thử nghiệm hoặc sử dụng cách chia long division. Nhận thấy rằng phân tích sẽ gặp khó khăn ở đây. Do đó, ta có thể thử nghiệm nghiệm để tìm:
625y^3 + 75y + 9 = (25y + 3)(25y^2 - 3y + 3).

c) (5 - y)^6 - 2(12)(5 - y)^3 + 9

Đặt x = (5 - y)^3. Khi đó, biểu thức trở thành:
x^2 - 24x + 9.

Thực hiện phân tích:
x^2 - 24x + 9 = (x - 12)^2 - 144 + 9 = (x - 12)^2 - 135.

Vì vậy, trở về biểu thức ban đầu:
(5 - y)^6 - 2(12)(5 - y)^3 + 9 = ((5 - y)^3 - 12)^2 - 135.

d) x^4 + 2018x^2 + 2018

Đặt y = x^2. Khi đó, biểu thức trở thành:
y^2 + 2018y + 2018.

Biểu thức này là một phương trình bậc hai. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
y = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) với a = 1, b = 2018, c = 2018, ta có:
y = (-2018 ± √(2018^2 - 4(1)(2018))) / 2 = (-2018 ± √(2018^2 - 8072)) / 2.

Dễ nhận thấy rằng biểu thức này có thể được phân tích hơn nữa nhưng sẽ dẫn đến nghiệm phức.

Mỗi bậc của những đa thức này có thể được phân tích thành các nhân tử phức hoặc thực tùy thuộc vào số lượng nghiệm và dấu của các hệ số.