Bài 4 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) trung tuyến AM. Gọi D là điểm đổi xứng của A qua M. a) Chứng minh ABDC là hình chữ nhật. b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh EMCF là hình

a) Để chứng minh ABDC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác ABDC đều song song và bằng nhau.

- Do tam giác ABC vuông tại A nên AM là trung tuyến nên \( AB = AC \).
- M là trung điểm của BC, theo định nghĩa, \( BM = MC \).
- D là điểm đối xứng của A qua M, do đó \( AM = MD \) và theo định nghĩa điểm đối xứng, \( AD = AM \).

Ta có:
- Căn cứ vào tính chất của điểm đối xứng:
- AD = AM
- BD = BM
- Vì AM là trung tuyến nên:
- AB = AC
- BM = MC

Vì vậy:
1. AD // BC: vì AD = AM và M là trung điểm của BC.
2. AB // DC: vì AB = AC.
3. AD = DC và AB = BD.

Như vậy, ABDC là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh EMCF là hình bình hành, ta sẽ chứng minh hai cặp cạnh đối diện của tứ giác EMCF bằng nhau và song song.

- E là trung điểm của AB và F là trung điểm của AC.
- Xét các đoạn thẳng:
- EM = EA (vì E là trung điểm của AB)
- MF = AF (vì F là trung điểm của AC)

Ta có kết quả:
1. EM // CF.
2. EA = MF = AF.

Như vậy, EMCF là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau.

c) Đặt I là giao điểm của EF và AD, ta cần chứng minh rằng AD = 4*AI.

- Vì E và F là trung điểm của AB và AC, cho nên EF là đoạn nối giữa hai trung điểm. Khi đó, nó sẽ chia AD thành ba đoạn bằng nhau, do tính chất của các trung điểm trong tam giác.
- Đoạn AD được chia bởi I thành 4 đoạn mà trong đó EF chia AD thành 2 đoạn bằng nhau. Được biết \( AE = EB \) và \( AF = FC \).

Như vậy, ta có:
AD = AE + EI + ID + AF = 4*AI, vì I là điểm chính giữa của AD.

Vậy, ta có: AD = 4*AI.