(cosx+sinx)^3=2_/2 cos^3(x--pi/4) Làm sao để có được biểu thức trên vậy ạ em không hiểu

Biểu thức (cosx + sinx)^3 = 2/cos^3(x - pi/4) có thể được giải thích và chứng minh bằng việc sử dụng các tính chất của hàm số lượng giác và định lý hằng đẳng thức.

Đầu tiên, ta xem xét phần bên trái của phương trình:

(cosx + sinx)^3 = (cosx + sinx)(cosx + sinx)(cosx + sinx).

Để đơn giản hóa, chúng ta có thể sử dụng định lý hằng đẳng thức để khai triển. Như vậy, ta có:

cos^3(x) + 3cos^2(x)sin(x) + 3cos(x)sin^2(x) + sin^3(x).

Sử dụng định thức sin^2(x) + cos^2(x) = 1, có thể chuyển đổi các thành phần về phía sin và cos. Tuy nhiên, phần này sẽ vẫn giữ nguyên như vậy để đồng nhất các hàm.

Bây giờ xét phần bên phải của phương trình:

2/cos^3(x - pi/4).

Ta biết rằng:

x - pi/4 tương đương với việc dịch chuyển góc x một góc -45 độ. Do đó, cos(x - pi/4) có thể được tính bằng công thức cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b):

cos(x - pi/4) = cos(x)cos(pi/4) + sin(x)sin(pi/4)
= cos(x)(√2/2) + sin(x)(√2/2)
= (1/√2)(cos(x) + sin(x)).

Khi đó, ta có:

cos^3(x - pi/4) = (1/√2)^3 (cos(x) + sin(x))^3
= (1/2√2)(cos(x) + sin(x))^3.

Bây giờ ta có thể thay thế vào biểu thức bên trái:

Bên trái: (cosx + sinx)^3.

Bên phải sau khi thay thế: 2/(1/2√2)(cos(x) + sin(x))^3 = 2√2(cos(x) + sin(x))^3.

Do đó, ta cần tìm cách cân bằng 2√2 với (cosx + sinx)^3 trong một số điều kiện nhất định cho x.

Kết luận, cả hai bên sẽ khớp với nhau nếu điều kiện cho x được thỏa mãn, từ đó ta có thể khẳng định rằng phương trình là đúng với một số giá trị cho x. Cái chính là cách mà ta khai thác các hằng đẳng thức và tính chất của hàm lượng giác để đến được kết quả mong muốn.