cho tứ giác ABCD gọi E ,F ,G ,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA  chứng minh AE=CG và tam giác AEH=tam giác CGF

Để chứng minh AE = CG và tam giác AEH = tam giác CGF, trước hết ta sẽ xét các điểm E, F, G, H như đã cho trong bài:

1. Chứng minh AE = CG:
- Gọi A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) là tọa độ các điểm của tứ giác ABCD.
- Vì E là trung điểm của AB nên tọa độ của E là:
E = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
- F là trung điểm của BC, tức là:
F = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2).
- G là trung điểm của CD, tức là:
G = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2).
- H là trung điểm của DA, tức là:
H = ((x4 + x1)/2, (y4 + y1)/2).

Ta có thể tính độ dài AE và CG:
- Độ dài AE bằng:
AE = sqrt((( (x1 + x2)/2 - x1)^2 + ((y1 + y2)/2 - y1)^2)) = sqrt(((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)/4) = 1/2 * sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

- Độ dài CG bằng:
CG = sqrt((( (x3 + x4)/2 - x3)^2 + ((y3 + y4)/2 - y3)^2)) = sqrt(((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2)/4) = 1/2 * sqrt((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2).

Để chứng minh AE = CG, ta cần chứng minh rằng
sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2).
Điều này là đúng nếu tứ giác ABCD là tứ giác đối xứng, hoặc khi ABCD là hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình bình hành.

2. Chứng minh tam giác AEH = tam giác CGF:
- Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, ta cần chứng minh rằng các cạnh tương ứng và góc tương ứng bằng nhau.
- Cạnh AE tương ứng với CG (đã chứng minh ở bước trên).
- Cạnh EH tương ứng với GF. Vì H là trung điểm của DA và F của BC, nên EH = GF = 1/2 * độ dài hình chữ nhật hoặc hình bình hành khi chúng ta đặt các điểm theo cách đó.
- Cuối cùng là góc EAH và góc CGF. Vì E, F, G, H đều là trung điểm của các cạnh, các góc này sẽ bằng nhau do tính đối xứng.

Kết luận:
- AE = CG và tam giác AEH = CGF khi ABCD là hình chữ nhật hoặc hình bình hành.