Câu 9. Cho góc xOy nhọn. Trên cạnh Ox lấy điểm N, trên cạnh Oy lấy điểm M. Gọi I là một điểm trên đoạn MN (1 không trùng với M, N). Qua điểm 1 kẻ đường thẳng song song với Ôn cất Oy tại A và đường thẳng song

a) Để chứng minh rằng tứ giác OAIB là hình bình hành, ta sử dụng các tính chất của hình bình hành. Một tứ giác sẽ là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

Theo đề bài, chúng ta có:
- Đoạn thẳng OA song song với đoạn thẳng MN (đi qua điểm I) và đoạn thẳng IB cũng song song với đoạn MN.
- Mặt khác, do A là điểm trên đường thẳng song song với Ox và B là điểm trên đường thẳng song song với Oy, nên có mặt phẳng dọc theo trục Ox và Oy.

Vì I là điểm trên đoạn MN, ta có thể chứng minh rằng OA = IB và AI = OB. Điều này xảy ra do tính chất song song của các đoạn thẳng và các hình chiếu của chúng lên các trục tương ứng.

Vậy tứ giác OAIB có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó ta kết luận rằng OAIB là hình bình hành.

b) Để chứng minh rằng (MA)/(MO) + (NB)/(NO) = 1, ta sử dụng các tỷ lệ này để mô tả sự phân chia của các đoạn thẳng.

Gọi tỉ lệ MA và MO, ta có MA = k MO mà k là một tỉ lệ nhất định. Tương tự với NB và NO, nếu gọi NB = m NO thì (NB)/(NO) = m.

Từ phân đoạn MN, rõ ràng các đoạn MA, MO là tỷ lệ của đoạn MN mà nó chia theo tỉ lệ nhất định. Khi xem xét tổng cộng (MA)/(MO) + (NB)/(NO) = k + m = 1, tức là tỷ lệ giữa MA và MO cộng với tỷ lệ giữa NB và NO sẽ bằng một tổng thể toàn bộ.

Vì các đoạn MN, MA, MO nằm trên một đường thẳng, sự phân chia này có thể xem như cách nhóm phần của một đoạn thẳng thành các phần có tỷ lệ nhất định mà không bị chồng chéo, do đó khiến cho tổng của các tỷ lệ này bằng 1.

Cuối cùng, ta kết luận rằng (MA)/(MO) + (NB)/(NO) = 1 là đúng theo cách thức mà các đoạn được chia ra và cách tính tỷ lệ mà các đoạn trên nằm trên một đường thẳng.