Cho góc alpha thoả mãn `frac{pi}{2}` <  $alpha$ < `pi` và sin $alpha$ = `frac{4}{5}`. Tính P = sin 2($alpha$ + $pi$)

Để tính P = sin 2(α + π), trước tiên ta cần áp dụng công thức sin cho tổng góc.

Theo công thức sin của tổng hai góc, ta có:
sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β).

Trong trường hợp này, β = π. Ta biết rằng:
- sin(π) = 0
- cos(π) = -1

Do đó, biểu thức sin(α + π) sẽ trở thành:
sin(α + π) = sin(α) cos(π) + cos(α) sin(π)
= sin(α) (-1) + cos(α) 0
= -sin(α).

Vì vậy, chúng ta có:
sin(α + π) = -sin(α).

Bây giờ, áp dụng vào P:
P = sin(2(α + π)) = sin(2α + 2π).

Vì sin là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, nên ta có:
sin(2(α + π)) = sin(2α + 2π) = sin(2α).

Do đó, P = sin(2α).

Tiếp theo, để tính sin(2α), ta sẽ sử dụng công thức sin của góc nhân với 2:
sin(2α) = 2sin(α)cos(α).

Chúng ta đã biết rằng sin(α) = 4/5. Bây giờ, ta cần xác định cos(α):
Ta có:
sin²(α) + cos²(α) = 1.
=> (4/5)² + cos²(α) = 1
=> 16/25 + cos²(α) = 1
=> cos²(α) = 1 - 16/25
=> cos²(α) = 25/25 - 16/25
=> cos²(α) = 9/25.

Từ đó suy ra cos(α) = ±3/5. Tuy nhiên, vì α nằm trong khoảng (π/2, π) (góc ở phần 2 của mặt phẳng lượng giác), nên cos(α) phải âm:
cos(α) = -3/5.

Giờ ta đã có:
sin(α) = 4/5 và cos(α) = -3/5.

Bây giờ, ta áp dụng vào công thức tính P:
P = sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
= 2 (4/5) (-3/5)
= 2 * (-12/25)
= -24/25.

Vậy kết quả cuối cùng là P = -24/25.